净化复杂系统的大教堂

  “耗散结构”概念创始人，1977年诺贝尔化学奖得主伊利亚·普利高津的《从存在到演化》是一本颇有影响力的科普著作。笔者亦曾对其论点深表认同，但科普著作毕竟还是科普著作。现在笔者已不再认为不可逆过程，熵增/耗散，系统的开放性等对解释物理现象的复杂性有不可替代的重要地位了，Arxiv上有篇澄清对统计物理学和非线性动力学常见误解的文章，其对普利高津论点的评析相当中肯，但不彻底。

 凝聚态物理学泰斗菲利普·安德森（讽刺性地，他恰好是1977年诺贝尔物理学奖得主）批评过普利高津的耗散结构理论远远没有完善，甚至稳定的耗散结构可能根本就不存在（there is no developed theory of dissipative structures (despite claims to the contrary) and that perhaps there are no stable dissipative structures at all），更不用说什么用来解释生命现象了，原文可见于此。物理奖得主著文吐槽同一年化学奖得主的代表性工作，此事估计也就这一回了。

 不过，除去耗散结构的具体理论不提，纯化也可以从根本上否决“【不可逆性】和【与环境的能量/物质交换】是形成复杂结构的必要条件”的观点。任意有限维希尔伯特空间H1上的密度矩阵（一般表示的是一个系统的混态）都可以视作由另一个维数更大的希尔伯特空间H2中的纯态求偏迹而来，量子信息学中用这种工具可以将处理混态/密度矩阵的问题转化成处理纯态的问题，因此这种手法又得名“大希尔伯特空间教堂”，不纯怎么办？上教堂（更大的希尔伯特空间）接受净化（purification=纯化）嘛。

 现实中的复杂系统（例如人脑）的自由度数目和平均能量都是有限值，因此，也总是存在满足可纯化条件的密度矩阵可以完全描述其所有物理性质，因为系统的密度矩阵确定了其中所有可观测量的平均值。然而，同样的密度矩阵却有无穷多种纯化方案，在任何一种方案中，都可以将复杂系统C看作是另一个更大但有限的体系A的一部分。而当C进行演化时，每一时刻的状态都可用同一个希尔伯特空间进行纯化（从纯化的步骤可以看出，只要维数不小于原空间维数的2倍即可，对特定的演化甚至可以更小）。故C的任何物理过程（包括通常意义上认为是“不可逆”的）都可以被蕴含在A的演化中，而A却从头至尾保持纯态。

A始终是纯态意味着什么呢？这表示A的演化完全可以是幺正的，不管C的演化是什么。例如：设一段时间充分短的演化中，C的初态和末态分别可用密度矩阵ρ0和ρt表示，将两者都进行纯化（用同一个充分大的希尔伯特空间）就得到了A的初态|Ψ0>和末态|Ψt>（以下默认态矢已做过归一化），则将幺正算符U=|Ψt><Ψ0|作用在初态|Ψ0>上就可将其变换为末态|Ψt>，对应的子系统C也就从ρ0演化到了ρt。

如果演化的中间过程也是重要的，则可以将时间较长的演化可以被分解为多段时间较短的演化，用幺正算符序列U1U2U3……Un来完成，每一个幺正算符完成演化的“一步”。作为A的子系统的C则会相应地完成对应的复杂过程（例如，整个地球上生态圈的形成），而A的演化当然还是幺正的。既然用A的幺正演化足以重现C中存在的复杂现象，假设一个和A耦合的大环境就是根本不必要的，即：A可以是演化完全为某个哈密顿所确定的有限孤立系统。

这就是对“只有开放系统能产生像生命这样复杂的物理现象”迷思的终结，实际上任何符合量子力学规律的现象都能用孤立系统重现出来（此前的日志也指出过这个问题）

关于现象的不可逆性，情况微妙一些。不管子系统C上发生的过程是多么“不可逆”的，无论是气体的自由扩散还是生物的死亡和腐烂，在整体A上来看都只是幺正演化，而幺正算符显然都有一个同样幺正的逆算符。例如，把算符U’=|Ψ0><Ψt|作用在末态|Ψt>上就马上还原出了初态|Ψ0>，对应的子系统C中的现象则会是：弥漫开的气体自动重新汇聚到容器的角落里，生物的腐尸恢复如初死而复生。关于后者，我们绝对会认为是违反常识的魔法。但是，确实没有什么基本的物理定律能禁止这样的现象发生（热力学第二定律不是基本的定律，它是依赖初始条件的），因为已知的基本定律是严格可逆的。

怎么去实行这么反直觉的幺正演化呢？用于实现原过程的算符U和实现看似不可能的逆过程的算符U’可以用同一组固定的量子门逼近到充分的精度，我们已假设A的希尔伯特空间维数有限，故量子比特数也有限,是故总存在有限大的通用量子门集合可以用于逼近其上的任意幺正演化，这种“工具”集合有无穷多个。故原理上可以构造一个包含大活人的系统A，然后循环反复将U和U‘作用在A上，导致此人不断在死去和活来间振荡（大约是史上最变态的酷刑……）。

可以透过预设热力学第二定律来引入不可逆性以解决这个佯谬吗？为此，需证明上述的U通常会导致A的热力学熵增加。从U的幺正性可以看出A的诺依曼-吉布斯熵在前后是不变的，可是，诺依曼-吉布斯熵只有在A的平衡态（或近平衡态）才有热力学熵的意义。但是，如前所述存在无穷多种纯化方式，以及相应的无穷多种可能的A，不同方式中引入的辅助系统除了希尔伯特空间维数充分高以外并无其他具体的要求，因此它们的唯一共同点就是都有C作为子系统，而此时子系统间不是相互独立的（C与其他部分间可存在强烈的纠缠），无法利用熵的可加性。看不出可以说明所有可能的A熵增的理由，从而无法证明热力学不可逆性在这类现象中是关键因素。

对于纯化论证，最大的问题就在于纯化时引入的辅助系统是假想出来的，因此，实际上做幺正演化的这个孤立系统A也是假想系统。可是，任何与基本的量子力学相容的理论也必须对所有合理的假想系统成立。因此，除非更动我们已知的规律，赋予不可逆性和系统的开放性如普利高津认为的那样重要的地位，是不应该的。