数学基础系列：极限与连续

2021-06-15 本文已影响0人 Boye0212

本文整理一些与极限和连续有关的概念和定理。

1 实数线的拓扑

我们先从探讨“距离”的概念出发。我们知道对于 $x,y\in R$ ，可以定义一个非负的Euclidean distance $|x-y|$ 。通过这个，我们可以定义某个点 $x\in R$ 的 $\varepsilon$ -邻域（ $\varepsilon$ -neighbourhood）为集合 $S(x,\varepsilon)=\{y:|x-y|\lt \varepsilon\}$ ，其中 $\varepsilon\gt 0$ 。

如果对于集合 $A\subseteq R$ ， $\forall x\in A$ ，都 $\exists \varepsilon\gt 0$ ，使得该点的 $\varepsilon$ -邻域是 $A$ 的子集，这样的集合 $A$ 叫开集（open set）。 $R$ 和 $\emptyset$ 也都为开集。

$R$ 上的所有开集组成的collection，称为topology of $R$ （拓扑），或者usual topology on $R$ （通常拓扑）。我们还可以在 $R$ 的子集或子空间（subspace）上讨论topology，对于 $A\subseteq \mathbb{S}\subseteq R$ ，如果 $\forall x\in A$ ，都 $\exists S(x,\varepsilon)$ ，使得 $S(x,\varepsilon)\cap \mathbb{S} \subseteq A$ ，就称 $A$ 在 $\mathbb{S}$ 中是开的（ $A$ is open in $\mathbb{S}$ ）。比如 $[0,1)$ ，在 $R$ 中不是开的，但在 $\mathbb{S}=[0,2]$ 中是开的。所有这些集合定义了relative topology on $\mathbb{S}$ （相对拓扑），由定义直接可得以下定理。

定理：若 $A$ 在 $R$ 中是开的，则 $A\cap \mathbb{S}$ 在relative topology on $\mathbb{S}$ 中是开的。

对于某个点 $x\in R$ ，若 $\forall \varepsilon \gt 0$ ， $A\cap S(x,\varepsilon)$ 均为非空集合，则称 $x$ 为集合 $A$ 的一个闭包点（closure point），它不一定是 $A$ 中的元素。 $A$ 的所有的闭包点组成了 $A$ 的闭包（closure），记作 $\bar A$ 或 $(A)^-$ 。

对于某个点 $x\in R$ ，若它是 $A-\{x\}$ 的闭包点，则称它是 $A$ 的会聚点（accumulation point）。若 $x$ 是 $A$ 的闭包点且 $x\notin A$ ，则 $x$ 也是 $A$ 的会聚点。而那些不是会聚点的闭包点，就是 $A$ 的孤点（isolated point）。比如集合 $A=\{0\}\cup[1,2]$ ，则 $x=0$ 为 $A$ 的孤点。

若点 $x\in \bar A$ 满足 $\forall \varepsilon\gt 0$ ， $A^c\cap S(x,\varepsilon)$ 均非空，则 $x$ 称为集合 $A$ 的边界点（boundary point）。可以将 $A$ 的所有边界点组成的集合记为 $\partial A$ ，则 $\bar A = A\cup\partial A$ 。

$A$ 的内部（interior）就是集合 $A^o=A-\partial A$ 。

闭集（Closed set）就是包含了该集合自己所有的闭包点的集合，对这样的集合来说， $\bar A=A$ 。

定理： $R$ 上的开集，其补集是闭集。

这是闭集的另一个定义。可以看出， $R$ 和 $\emptyset$ 都既是开集又是闭集。推广至relative topologies，有如下定理。

定理：若 $A$ 在 $\mathbb{S}\subseteq R$ 中是开的，则 $\mathbb{S}-A$ 在 $\mathbb{S}$ 中是闭的。

定理：（1）开集的collection的并是开的；（2）若 $A$ 和 $B$ 都是开的，那么 $A\cap B$ 也是开的。

定理：每个开集 $A\in R$ 都可表达为可数个不交开区间的并。

定理： $\mathscr{B}$ 包含了 $R$ 中的开集和闭集。

若一个collection $\mathscr{C}$ 满足对于一个 $A\subseteq R$ ， $A\subseteq \cup_{B\in\mathscr{C}}B$ ，则称 $\mathscr{C}$ 为 $A$ 的一个覆盖（covering）。若这里每个 $B$ 都是开集，则称该覆盖为开覆盖（open covering）。

定理（Lindelof's covering theorem）：对于由 $R$ 上的开子集组成的任意的一个collection $\mathscr{C}$ ，必定存在可数的subcollection $\{B_i\in \mathscr{C}, i\in N\}$ ，使得
$\cup_{B \in \mathscr{C}} B = \cup_{i=1}^{\infty} B_i$

这也就是说，若 $\mathscr{C}$ 是 $R$ 中某个集合的覆盖，那么它必定包含了一个可数的子覆盖。这也叫Lindelof property。

由覆盖的概念，可以导出一个更重要的概念：紧致性（compactness）：若对于集合 $A$ ，每个 $A$ 的开覆盖都包含了一个有限的子覆盖，则称 $A$ 是紧的（compact）。

理解这个概念的关键在于“每个”和“开覆盖”。举个例子，对于 $(0,1]$ ，可数collection $\{(1/n,1],n\in N\}$ 是一个开覆盖，但没有有限的子覆盖，因此 $(0,1]$ 不是紧的。

若 $\exists x\in A$ 和 $\varepsilon \gt 0$ ， $A\subseteq S(x,\varepsilon)$ ，则称 $A$ 是有界的（bounded）。换句话说，有界集合必须被一个有限区间所包含。有了有界的概念，我们回到紧致性。

定理：在 $R$ 中的一个集合是紧的，当且仅当它是闭的、有界的。

对于 $A$ 的子集 $B$ ，若 $B\subseteq A\subseteq \bar B$ ，则称 $B$ 在 $A$ 中稠密（dense）。

定理：若 $A$ 是 $R$ 上的区间， $C\subseteq A$ 是一个可数集合，则 $A-C$ 在 $A$ 中稠密。

2 序列和极限

实序列（real sequence）是一个从 $N$ 到 $R$ 的映射，定义域中的元素称为indices，它们的值域称为序列的项/成员/坐标（terms/members/coordinates）。

称 $\{x_n\}_1^{\infty}$ 收敛于（converge to）极限 $x$ ，若 $\forall \varepsilon \gt 0$ ， $\exists N_\varepsilon$ ，使得 $\forall n>N_\varepsilon, |x_n-x|\lt \varepsilon$ 。若序列趋于 $\pm\infty$ 则称发散（diverge），有时这也叫在 $\bar R$ 中收敛，这是为了区别它们与那些不收敛到一个固定点的序列。

定理：任意在紧集中的单调序列均收敛。

即使序列不收敛，也可能会无限次地到达某个点。若存在子序列（subsequence） $\{x_{n_k},k\in N\}$ 和常数 $c$ ，使得 $x_{n_k}\to c$ ，则称 $c$ 为序列的聚集点（cluster point）。比如序列 $\{(-1)^n,n=1,2,\ldots\}$ ，可以用它的奇数位置元素和偶数位置元素分别构造出收敛子列。

子序列的概念很重要。典型的推理路线是这样的，先确定一个收敛子列（可能是单调序列），再利用序列的其他特性来说明聚集点是一个极限。由于序列的成员都是在紧集中的，一方面紧集是有界的，所以这样的序列不可能发散至无穷大，另一方面紧集又是闭的，所有的极限点或聚集点都在集合中。

定理：在 $R$ 上的紧集中的任意序列，都有至少一个聚集点。

定理：在紧集中的序列，要不就有两个或更多的聚集点，要不就收敛。

例子：考虑序列 $\{1,x,x^2,\ldots\}$ ，若 $|x|\lt 1$ 则收敛于 $0$ ，若 $x=1$ 则收敛于 $1$ ，若 $x\gt 1$ 则其在 $R$ 中发散，或者叫在 $\bar R$ 中收敛至 $+\infty$ ，若 $x=-1$ 则在两个聚集点 $+1$ 和 $-1$ 之间摇摆，若 $x\lt -1$ 则在 $R$ 中发散，或者说在 $\bar R$ 中的两个聚集点 $+\infty$ 和 $-\infty$ 之间摇摆。

接下来讨论实数序列。实数序列 $\{x_n\}$ 的上极限（superior limit）定义为
$\limsup_n x_n = \inf_n \sup_{m\gt n} x_m$

类似可定义下极限（inferior limit）为
$\liminf_n x_n = -\left(\limsup_n (-x_n)\right) = \sup_n \inf_{m\gt n} x_m$
当 $\limsup_n x_n$ 与 $\liminf_n x_n$ 相等，序列收敛。

这几个概念可用来处理极限问题。有时候，直接假设极限存在是不合理的，但limsup和liminf是总是存在的，只需推导它们，再说明它们相等就行，另一个充分条件是 $\liminf_n x_n\gt \limsup_n x_n$ ，也可以推出极限存在。

对于实数序列，有一个判断收敛的Cauchy准则（Cauchy criterion）： $\{x_n\}$ 收敛，等价于， $\forall \varepsilon\gt 0$ ， $\exists N_\varepsilon$ ，使得对于 $n\gt N_\varepsilon$ ， $m\gt N_\varepsilon$ ，有 $|x_n-x_m|\lt \varepsilon$ 。满足这个条件的，也叫Cauchy序列（Cauchy sequence）。满足本节开头对收敛的定义的数列必为Cauchy数列，实数Cauchy数列也必定有极限，两种极限的定义在 $R$ 上等价。但Cauchy准则在很多时候更容易检验。

在集合 $A$ 中的Cauchy序列，它的极限是 $A$ 的会聚点；反之，每个 $A$ 的会聚点 $x$ ，都存在极限为 $x$ 的Cauchy序列。因此，极限点（limit point）有时是会聚点（accumulation point）的同义词。

定理：任意实数都是某个有理数Cauchy序列的极限。

该定理意味着，任一实数的任一 $\varepsilon$ -邻域中，必定存在一个有理数，即 $Q$ 在 $R$ 中是稠密的。另外， $Q$ 的补集 $R-Q$ 也是稠密的，因此，正常人的直觉“稠密的集合的补集是稀疏的”是错误的。

定理：任意开区间都是某个端点为有理数的闭子区间序列的极限。

这说明了，开集序列的极限不一定是开的，闭集序列的极限不一定是闭的。但是，非递减的开集序列的极限是开的，非递增的闭集序列的极限是闭的。

3 函数和连续

本节讨论函数及其连续性的概念。现有一个在实变量上的函数 $f: \mathbb{S}\mapsto \mathbb{T}$ ， $\mathbb{S}\in R$ ， $\mathbb{T}\in R$ ，对于“连续性”（continuity）， $f$ 在 $x\in\mathbb{S}$ 处连续的正式定义为： $\forall \varepsilon \gt 0$ ， $\exists \delta \gt 0$ ，使得只要 $|y-x|\lt \delta$ 就有 $|f(y)-f(x)|\lt \varepsilon$ 。若 $f$ 在 $\mathbb{S}$ 的每个点上都连续，则称它在 $\mathbb{S}$ 上连续。

定理：假设 $f: \mathbb{S}\mapsto \mathbb{T}$ 在 $\mathbb{S}$ 的所有点上连续，那么，若 $A$ 在 $\mathbb{T}$ 上是开的则 $f^{-1}(A)$ 在 $\mathbb{S}$ 上是开的，若 $A$ 在 $\mathbb{T}$ 上是闭的则 $f^{-1}(A)$ 在 $\mathbb{S}$ 上是闭的。

注意，这条定理没有说，若 $A$ 是开的则 $f(A)$ 是开的。如果一个映射满足若 $A$ 是开的则 $f(A)$ 是开的，可以称为开映射（open mapping）。由于 $f(A^c)\neq [f(A)]^c$ ，因此开映射未必是闭映射（closed mapping）。但有一种特殊的函数，就是同胚（homeomorphism）。同胚是这样的一种函数，它是 $1$ - $1$ onto（满射、单射）、连续，并且反函数也连续。若 $f$ 为同胚，则 $f^{-1}$ 也是同胚，同胚既是开映射，又是闭映射。

目前我们定义的连续，是关于函数在某个点处的性质，并不是函数自身的性质，为此还需要引入一致连续（uniformly continuous）的概念： $\forall x,y\in \mathbb{S}$ ， $\forall \varepsilon\gt 0$ ， $\exists \delta\gt 0$ ，使得，只要 $|x-y|\lt \delta$ ，就有 $|f(x)-f(y)|\lt \varepsilon$ 。

定理：如果一个函数在紧集 $\mathbb{S}$ 上处处连续，则它在 $\mathbb{S}$ 上必定是有界且一致连续的。

连续性是关于函数光滑性（smoothness）的最弱的概念，另外还有Lipschitz条件、可微、有界变差等概念。

我们来看Lipschitz条件（Lipschitz condition）：对于某个 $\delta\gt 0$ ， $\forall y\in S(x,\delta)$ ，若 $\exists M\gt 0$ ，使得 $|f(y)-f(x)|\leq Mh(|x-y|)$ ，其中 $h:R^+ \mapsto R^+$ 满足当 $d\downarrow 0$ 时 $h(d)\downarrow 0$ ，则称函数 $f$ 在点 $x$ 处满足Lipschitz条件。若固定 $M$ ， $\forall x,y\in \mathbb{S}$ 上面的条件都成立，则称 $f$ 满足一致Lipschitz条件（uniform Lipschitz condition）。

可微（diffrentiable）也是一种光滑性的概念。

当定义域是区间时，另一个光滑性的概念是有界变差（bounded variation）。若 $\exists M\lt \infty$ ，使得，对于区间 $[a,b]$ ，任意一种用有限个点 $a=x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n = b$ 产生的划分，满足 $\sum_{k=1}^{n} |f(x_i)-f(x_{i-1})|\leq M$ ，则称函数 $f$ 是有界变差的。

定理： $f$ 是有界变差的，当且仅当存在非递减函数 $f_1$ 和 $f_2$ 使得 $f=f_2-f_1$ 。

另外，在 $[a,b]$ 上由 $h(|x-y|)=|x-y|$ 满足一致Lipschitz条件的函数，在 $[a,b]$ 上是有界变差的。

4 向量向量与函数

以上几节的结论，一般都可推广到 $R^k$ 空间上。

定理：现有 $f:\mathbb{S}\mapsto\mathbb{T}$ ，其中 $\mathbb{S}\in R^k$ ， $\mathbb{T}\in R^m$ ，当且仅当 $f$ 是连续的时，有：若 $A$ 在 $\mathbb{T}$ 上是开的则 $f^{-1}(A)$ 在 $\mathbb{S}$ 上是开的，若 $A$ 在 $\mathbb{T}$ 上是闭的则 $f^{-1}(A)$ 在 $\mathbb{S}$ 上是闭的。

5 函数的序列

取函数 $f_n:\Omega \mapsto \mathbb{T}$ ，其中 $\mathbb{T}\in R$ ， $\Omega$ 可以是任意集合（不一定是 $R$ 的子集），则 $\{f_n,n\in N+\}$ 就是函数的序列。

若存在一个 $f$ ， $\forall \omega\in\Omega$ ， $\forall \varepsilon\gt 0$ ， $\exists N_{\varepsilon \omega}$ ，使得当 $n\gt N_{\varepsilon \omega}$ 时必有 $|f_n(\omega)-f(\omega)|\lt \varepsilon$ ，则称 $f_n$ 在 $\Omega$ 上逐点收敛于 $f$ （converge to $f$ , pointwise on $\Omega$ ）。

同理，我们可以定义函数序列的一致收敛（uniform convergence）：若存在一个 $f$ ，使得 $\forall \varepsilon \gt 0$ ，都 $\exists N$ 使得当 $n\gt N$ 时有 $\sup_{\omega\in\Omega} |f_n(\omega)-f(\omega)|\lt \varepsilon$ ，则称 $f_n$ 在 $\Omega$ 上一致收敛于 $f$ （converge to $f$ uniformly on $\Omega$ ）。

6 Summability与序关系

对于实数序列 $\{x_n\}_1^{\infty}$ ，它的项的和称为级数（series），写为 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ （或 $\sum x_n$ ）。序列 $\{\sum_{m=1}^{n} x_m,n\in N+\}$ 称为级数的部分和（partial sums）。对于一个级数来说，若部分和收敛于有限的极限，则称该级数收敛。另外，若单调序列 $\{\sum_{m=1}^{n} |x_m|,n\in N+\}$ 收敛，则称对应的级数绝对收敛（converge absolutely）。

比如几何级数（geometric series） $\sum_{j=1}^{\infty} x^j$ ，若 $|x|\lt 1$ 则它收敛于 $1/(1-x)$ ，且它也是绝对收敛的，若 $x=-1$ 则它在两个聚集点 $-1$ 和 $0$ 之间摇摆，若 $x$ 取其他值则它发散。

定理：若级数绝对收敛，则它必收敛。

对应的一个术语叫summability，有时翻译成可求和性，但它是对应于数列的。若级数 $\sum x_n$ 收敛则称 $\{x_n\}_1^{\infty}$ 是summable，若 $\{|x_n|\}_1^{\infty}$ 是summable则称 $\{x_n\}_1^{\infty}$ 是absolutely summable。Summable序列必定收敛于 $0$ ，反之不然，除非尾部和（tail sums）收敛于 $0$ ，这是个充要条件，见下面定理。

定理： $\{x_n\}_1^{\infty}$ 是summable，当且仅当 $n\to\infty$ 时有 $\sum_{m=n}^{\infty} x_m\to 0$ 。

还有一个比普通的收敛更弱的概念：若 $\{n^{-1}\sum_{m=1}^{n} x_m\}_{1}^{\infty}$ 收敛，则称 $\{x_n\}_1^{\infty}$ 是Cesaro-summable的。

定理：若 $\{x_n\}_1^{\infty}$ 收敛于 $x$ ，则它的Cesaro和（Cesaro sum）也收敛于 $x$ 。

注意，不收敛的序列也可能是Cesaro-summable的，比如序列 $\{(-1)^n\}_0^{\infty}$ ，它不收敛，它的Cesaro和收敛于 $0$ ，它的部分和序列 $\{\sum_{m=0}^{n}(-1)^m\}_0^{\infty}$ 的Cesaro和收敛于 $1/2$ 。

记号 $x_n\sim a_n$ 表示， $\exists N\gt 0,A\gt 0, B\geq A$ ，使得 $\inf_{n\geq N}(x_n / a_n)\geq A$ ， $\sup_{n\geq N}(x_n / a_n)\geq B$ 。下面是有关收敛速率的定理。

定理： $\{x_n\}$ 为正的实数序列， $x_n\sim n^{\alpha}$ ，则

若 $\alpha \gt -1$ ，则 $\sum_{m=1}^{n} x_m\sim n^{1+\alpha}$ ；
若 $\alpha = -1$ ，则 $\sum_{m=1}^{n} x_m \sim \log n$ ；
若 $\alpha \lt -1$ ，则 $\sum_{m=1}^{n} x_m \lt \infty$ 且 $\sum_{m=n}^{\infty} x_m=O(n^{1+\alpha})$ 。

事实上， $x_n\sim n^{\alpha}$ 就意味着存在 $A\gt 0$ 和 $B \geq A$ ，使得 $A\sum_{m=N}^{n}m^\alpha \leq \sum_{m=N}^{n}x_m \leq B\sum_{m=N}^{n}m^\alpha$ ，而 $n\to\infty$ 时 $\sum_{m=1}^{n} m^\alpha$ 的极限值，就是以 $\alpha$ 为参数的Riemann Zeta函数，其中 $\alpha\lt -1$ 。

若对于 $x\gt 0$ 和 $-\infty\lt\rho\lt \infty$ ，当 $v\to\infty (0)$ 时，有 $U(vx)/U(v)\to x^\rho$ ，则称 $U$ 是regularly varying at infinity (zero)。若对于 $x\gt 0$ ，当 $v\to\infty (0)$ 时，有 $L(vx)/L(v)\to 1$ ，则称 $L$ 是slowly varying at infinity (zero)。显然，一个regularly varying函数 $U$ 可以写作 $U(v)=v^\rho L(v)$ ，其中 $L$ 是slowly varying的。举个例子， $(\log v)^\alpha$ 对于任意 $\alpha$ 都是slowly varying at infinity。

这两种函数都定义在实数上，但也可以限制在 $N^+$ 上，这样就可以将它们的概念引入到正数序列上。

定理：若 $L$ 是slowly varying at infinity，则 $\forall \delta\gt 0$ ， $\exists N\geq 1$ ，使得 $\forall v\gt N$ ，都有 $v^{-\delta} \lt L(v) \lt v^{\delta}$ 。

推论：若 $x_n=O(n^\alpha L(n))$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n \lt\infty$ ，这对于任意的 $\alpha \lt -1$ 和slowly varying at infinity的函数 $L(n)$ 都成立。

定理：若 $x_n\sim 1/[n(\log n)^{1+\delta}]$ ， $\delta\gt 0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n \lt\infty$ 。若 $\delta =0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n \sim \log\log n$ 。

定理（Feller，1971）：若正的单调函数 $U(v)$ 满足 $\forall x\in D$ ， $\dfrac{U(vx)}{U(v)}\to\Psi(x)$ ，其中 $D$ 在 $R^+$ 上稠密， $0\lt \Psi(x)\lt \infty$ ，则必有 $\Psi(x)=x^\rho$ ，其中 $-\infty\lt \rho\lt\infty$ 。

定理：单调的regularly varying的函数的导数，必定regularly varying at $\infty$ 。

7 Arrays

所谓array，就是定义域为可数的linearly ordered的集合的Cartesian product（或它的子集）的映射。

有限个序列组成的collection $\{\{x_{nt},t=1,\ldots,k_n\},n\in N^+\}$ ， $n\to\infty$ 时有 $k_n \uparrow \infty$ ，称这样的collection为triangular array。

Toeplitz's Lemma：假设 $\{y_n\}$ 是实数序列， $y_n\to\infty$ ，若 $\{\{x_{nt},t=1,\ldots,k_n\},n\in N^+\}$ 为triangular array，并且

对于每个固定的 $t$ ，当 $n\to 0$ 时， $x_{nt}\to 0$ ；
$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{t=1}^{k_n} |x_{nt}| \leq C \lt \infty$ ；
$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{t=1}^{k_n} x_{nt} = 1$ ，

则 $\sum_{t=1}^{k_n} x_{nt} y_n \to y$ 。对于 $y=0$ ，条件3可忽略。

满足上述引理的条件的一个典型例子就是 $x_{nt}=(\sum_{s=1}^{n} y_s)^{-1}y_t$ ，其中 $\{y_t\}$ 为正数序列且 $\sum_{s=1}^n y_s\to \infty$ 。

Kronecker's Lemma：考虑正数序列 $\{a_t\}_1^\infty$ 和 $\{x_t\}_1^\infty$ ，其中 $a_t\uparrow\infty$ ，若当 $n\to\infty$ 时， $\sum_{t=1}^{n} x_t/a_t\to C\lt \infty$ ，则 $\dfrac{1}{a_n}\sum_{t=1}^{n}x_t\to 0$ 。

关于array的收敛性，可以理解为在序列上的概念延伸。考虑子序列 $\{\{x_{m{n_k}}, k\in N^+\},m\in N^+\}$ ，其中 $\{n_k,k\in N^+\}$ 是正整数的递增序列。若 $x_m = \lim_{k\to\infty} x_{m n_k}$ 对于每个 $m\in N^+$ 都存在，则称array就是收敛的，它的极限就是无穷序列 $\{x_m,m\to\infty\}$ ，至于这个序列是否收敛，那就是另外一个问题了。

现在考虑一个有界array即 $\sup_{k,m} |x_{m{n_k}}|\leq B\lt \infty$ ，由前文定理可知， $R$ 上紧集中的任意序列必有至少一个聚集点，可将 $\{x_{m{n_k}},k\in N^+\}$ 的某个聚集点记为 $x_m$ ，这是对于array内部的序列来说的聚集点。那么，对于整个array来说，它有聚集点吗？有如下定理。

定理：对于任一有界array $\{\{x_{m{n_k}}, k\in N^+\},m\in N^+\}$ ，都存在一个对应的的序列 $\{x_m\}$ ，它是当 $k\to\infty$ 时 $\{\{x_{m{n_k^*}}, k\in N^+\},m\in N^+\}$ 的极限，其中 $\{n^*_k\}$ 是 $\{n_k\}$ 的子序列，且对于每个 $m$ 都相同。

参考文献

Davidson, J., 1994. Stochastic limit theory: An introduction for econometricians. OUP Oxford.