线代-- 研究矩阵四大子空间的意义

研究四大子空间的意义

总结：这一章节学习了矩阵的四大子空间。研究子空间的一个最主要的原因就是子空间的维度相比原空间更低，维度越低意味着空间越简单，如果能够保留关键信息直接降维到二维，或三维，我们就能进行更直观的可视化分析。在数据分析中，高维的数据存在计算性能低，分析的结果也可能不够好（维度灾难）这样的问题。所以如果能在降维，找到更低维度的空间，在这个空间来表示这些数据，且误差并不多的话，那么在这个子空间里研究高维数据效果会更好一些。。

矩阵子空间的一些应用示例

在真实世界中，很多问题的本质就是求解线性系统，求出其中的。不过由于面对真实问题时，我们采样的时候会不断的采很多样本，因为我们倾向于认为样本越多越能反映总体的真实情况，所以这样建立的矩阵就会非常庞大，这就是所谓的大数据。通常采样结果结果组成的矩阵中，行记录是采样的样本，列记录的是每个样本的特征，而我们想要探究的就是样本的和我们想要探究的之间的关系，这个指的就是，这个关系就是求解得到的。

在真实问题中，采集大量样本导致矩阵的行数大于列数，意味着方差的个数远远大于未知数个数，在这种情况下，由于数据偏差，方程之间就容易出现矛盾，因此真实情况建立的线性系统通常是无解的。 线性系统无解可能对应两种情况，要么是因为数据采集误差导致无法求解，要么就是我们探究的模型本身不准确，或者说特征与探究的结果之间本应该是非线性关系，结果我们套用了线性模型所以无法求解，但其实并不是问题本身无解。

当我们并不需要一个十分精确的解，只需一个接近解也足够用于研究的情况下。对于，单单对于来说，其实表示的就是矩阵的列空间，从向量乘法看表示成中的未知数与矩阵的列向量相乘再相加的形式，而这个表示形式的就是矩阵A的列向量的生成空间。既然是矩阵的列空间，继而线性系统的求解问题可以理解成在这个列空间中找到向量，如果向量在矩阵的列空间中的话，那么就肯定会有一个或多个与它相对应。所以在获取一个实际线性问题的近似解的时候，通常是在矩阵的列空间中找到一个离最近的，而这个离最近的其实就是在的列空间中的投影，转而求解线性系统的解来近似。