Week 7
Jordan Cotler and Kristan Jensen, "Wormholes and black hole microstate in AdS/CFT"
在人们成功推导出Page curve以后,在量子引力领域,可能一个比较重要的问题是:How smart is semi-classical Euclidean path integral (with the new ingredient AdS/CFT)?
虽然我们不能直接计算量子引力的fine grained quantity,但是根据我们现在的理解,即使是coarse grained quantity也可以揭示很多量子引力的效应。想法类似于利用很多的经典bit来描述一个量子bit。
最直接是用路径积分算partition function ,然后做一个Laplace 变换得到系统的corse grained density of state
想要得到更多地fine grained density of state 的信息,一个想法是计算很多的统计量比如。比如我们考虑一个具有有限自由度的离散系统,2 point density of state 就可以写成 Dirac delta 函数的求和
对于混沌系统或是ensemble theory,包括的黑洞微观态, turns out 满足一些universial 的性质
即能级趋向于彼此分开,这个行为称为long range level repulsion。在做一个double Laplace 变换可以得到一个更方便的量, spectral form factor
two point density state 的统计性质即可以用下面这个图来概括
曲线有一个turn over,或者说是一种相变。上升的部分称为ramp,表明在late time,spectral form factor,会出现一个新的saddle point。
所以自然的问题是,如果从引力计算,即Euclidean path integral 来理解这个相变。
在JT 引力还有这些低维引力理论里,我们已经发现,这个新的saddle 对应了一个新的几何构型:其具有两个disconnected asymptotic boundaries 的类似于wormhole。这个新的saddle 被称为double cone geometry。但是这个构型并不是一个真正的saddle,他不是经典方程的解,而且是complex的。如何理解这个saddle,并且把他推广到高维是这篇文章的主要工作。
用到的关键技术手段为 constrained instanton。可以理解为一种推广的saddle point approximation方法。
大致的想法如下:
假设我们要计算的量是一个场论的配分函数:
我们插入一个resolution of the identity
这里可以理解为一个functional constraint。一般来说如果我们要求理论这个系统的saddle,那么要对所有的变量求变分,既包括场,也包括auxilary的变量和。但是constrained instanton的含义就是,我们reserve 这个变量不对他进行变分,即把他当做一个parameter,然后求运动方程的解,这个解就叫做constrained instanton。虽然叫为instanton,但是它和我们一般认为的物理上instanton并没有直接关系。最后我们在对积分:
代表了在fix 时的saddle point,然后是在其1-loop的修正。如果理论还有其他的weak coupling,我们还可以对其展开。
把类似的技术用到引力理论中,可以定义相应的gravitional constrained instanton。因为我们要寻找类似于double cone geometry那样的解,所以我们也假设我们要找的constrained instanton也是具有两个disconnected boundary并且他的一个截面是简单的torus(或者球面)
选取的constraint为两个边界之间的距离:
这样constrained instanton 所要满足的方程即为
确实除了disconnected 的黑洞解以外,还存在connected 的wormhole 的解而且不是一个,是一大类解,依赖一个非负的连续参数:
Screen Shot 2021-04-19 at 1.03.43 AM.pngwith the constraint
Screen Shot 2021-04-19 at 1.04.25 AM.pngComments:
- 什么时候,wormhole的解是一个真正的saddle而不是一个constrained saddle?
要得到真正saddle,还要对求变分,得到的运动方程为。所以对于constrained instanton 的情况即为真实saddle。这里,有两种可能: 一,这个时候,几何是singular的不是好定义的; 二,。第二种可能又可以分为两种情况即,为实数的情况。这时候,wormhole的metric 退化为了黑洞的metric。另外一种可能是,这样就得了一个Lorentian signature 的metric,正好是double-cone geometry。
- 怎么理解参数b?
我们可以计算boundary stress-energy tenson:。所以 对于 non-vanishing 的wormhole,边界的Weyl symmetry 自发破缺,参数可以理解为自发破缺的 模数。
- --solution
constrained instanton,也可以理解为在fix guage 的时候引入的Lagrangian multiplier后导致的爱因斯坦方程的改变。
最后我们要对所有的wormhole 求和,也就是对积分,得到的量称为wormhole amplitude。我们可以这样来理解:我们是要算路径积分,然后我们利用constrained把积分投影到不同的constrained instanton:即wormhole上,最后在求和。与散射振幅的类比是,散射振幅本身是物理的,但是每一个feynman 图都不是物理的,只是计算振幅时的一种展开方式。同样的单独的wormhole并不是物理的,只有wormhole amplitude才是。就如同散射振幅可以有不同的分解方式意外,也可以期待wormhole amplitude也应该有不同的分解方式,也就说有很能通过引入不同的constraint从而得到不同类型的wormhole!