这个算法是面试过程中遇到的，本身真的没什么难度，一小时之内妥妥的从理解到应用，但是笔者因为没接触过推荐系统，所以这个是真的没法回答，既然问到了那就看一下吧。

1.原理

FM的全称是Factorization Machines，就是因子分解机的意思，为什么叫因子分解呢，就是因为他对传统的线性回归模型加了一个因子交叉项，你可以理解为把每一个特征和其他特征相乘后求和一步步来看他到底做了什么。

• 传统线性模型：

  
  传统线性模型
  

  w0就是b可以虚拟个x0，把这个模型变一下形。
  线性模型是出了名的欠拟合，准确率低，一些有志之士就想办法要优化线性模型，达到应用级别。

• 初始FM模型
  改进以后就有了下面这个式子：

  
  FM模型形式
  

  这里的xi是一个数就是某个样本在某个特征的取值然后跟其他所有特征乘一遍，然后求个和，这个就是所谓的特征交叉（阿里面试很看中特征交叉，但是跟这个不是一个量级的，大家自己百度一下）。好了这里有一个问题，wij对应的是((n-1）*n)/2量级（特征两两组合有几种情况），在特征比较多的时候，计算就很麻烦了。好了又有仁人志士坐不住了，优化一下吧，做一个近似的公式出来。

• 近似FM模型
  在优化以后就有了下面这个式子：

  
  近似的FM模型
  

  这个式子干嘛了？其实就是把W分解了，分解成两个矩阵相乘，这样的话其实就剩k*n个参数需要我们计算了，降低了算法复杂度。

• 交叉项展开：
  后边这个交叉项一看就可以化简的，按照下面这个过程化简：

  
  FM交叉项展开过程
  

  （1）第一步，这个地方很不好理解，首先我们看第一步的第一个公式其实就是矩阵的全部相乘，但是在全部相乘的时候，多了x1*x1这样的指标，这不是我们需要的，所以我们要去掉，然后由于是对称矩阵又会出现重复，看公式的原始形式我们要的是对称矩阵的上三角部分。
  不太好理解哈，举个栗子：

  
  FM模型交叉项展开实例
  好了有了上面这个，把一样的去掉，然后除以2，第一步就解释完了。
  （2）第二步，这个是把矩阵相乘展开了，没啥好解释的就是矩阵变单点数字了。
  （3）第三步，提取公共项，把一样的提出来。
  

  （4）第四步，合并同类项，一样的合并到一起。
  接下来就是优化过程了，优化你啥也别说，机器学习工程师只要回梯度下降就行了，会求导数就行了。
  直接用MSE当目标函数，然后求导就是下面这个形式。

  
  求导

2.python实现

直接写代码了，我是照着上边原理自己敲的，这里大家一定要弄懂矩阵和数组乘法，多的就不多说了。

import numpy as np
from random import normalvariate
# from sklearn_pandas import DataFrameMapper
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler as MM
import pandas as pd
data_train = pd.read_csv('diabetes_train.txt', header=None)
data_test = pd.read_csv('diabetes_test.txt', header=None)


def preprocessing(data_input):
    standardopt = MM()
    data_input.iloc[:, -1].replace(0, -1, inplace=True)
    feature = data_input.iloc[:, :-1]
    feature = standardopt.fit_transform(feature)
    feature = np.mat(feature)#传回来的是array，如果要dataframe那用dataframe
    label = np.array(data_input.iloc[:, -1])
    return feature, label


def sigmoid(x):
    return 1.0/(1.0 + np.exp(-x))


def sgd_fm(datamatrix, label, k, iter, alpha):
    '''
    k：分解矩阵的长度
    '''
    m, n = np.shape(datamatrix)
    w0 = 0.0
    w = np.zeros((n, 1))
    v = normalvariate(0, 0.2) * np.ones((n, k))
    for it in range(iter):
        for i in range(m):
            # inner1 = datamatrix[i] * w
            inner1 = datamatrix[i] * v
            inner2 = np.multiply(datamatrix[i], datamatrix[i]) * np.multiply(v, v)
            jiaocha = np.sum((np.multiply(inner1, inner1) - inner2), axis=1) / 2.0
            ypredict = w0 + datamatrix[i] * w + jiaocha
            # print(np.shape(ypredict))
            # print(ypredict[0, 0])
            yp = sigmoid(label[i]*ypredict[0, 0])
            loss = 1 - (-(np.log(yp)))
            w0 = w0 - alpha * (yp - 1) * label[i] * 1
            for j in range(n):
                if datamatrix[i, j] != 0:
                    w[j] = w[j] - alpha * (yp - 1) * label[i] * datamatrix[i, j]
                    for k in range(k):
                        v[j, k] = v[j, k] - alpha * ((yp - 1) * label[i] * \
                                  (datamatrix[i, j] * inner1[0, k] - v[j, k] * \
                                  datamatrix[i, j] * datamatrix[i, j]))
        print('第%s次训练的误差为：%f' % (it, loss))
    return w0, w, v


def predict(w0, w, v, x, thold):
    inner1 = x * v
    inner2 = np.multiply(x, x) * np.multiply(v, v)
    jiaocha = np.sum((np.multiply(inner1, inner1) - inner2), axis=1) / 2.0
    ypredict = w0 + x * w + jiaocha
    y0 = sigmoid(ypredict[0,0])
    if y0 > thold:
        yp = 1
    else:
        yp = -1
    return yp


def calaccuracy(datamatrix, label, w0, w, v, thold):
    error = 0
    for i in range(np.shape(datamatrix)[0]):
        yp = predict(w0, w, v, datamatrix[i], thold)
        if yp != label[i]:
            error += 1
    accuray = 1.0 - error/np.shape(datamatrix)[0]
    return accuray

datamattrain, labeltrain = preprocessing(data_train)
datamattest, labeltest = preprocessing(data_test)
w0, w, v = sgd_fm(datamattrain, labeltrain, 20, 300, 0.01)
maxaccuracy = 0.0
tmpthold = 0.0
for i in np.linspace(0.4, 0.6, 201):
    print(i)
    accuracy_test = calaccuracy(datamattest, labeltest, w0, w, v, i)
    if accuracy_test > maxaccuracy:
        maxaccuracy = accuracy_test
        tmpthold = i
print(accuracy_test, tmpthold)

写在后边：FM模型算法调参的过程中，一共有n*k+n+1个参数，这个是让模型自己去学习的。可以人为设定的参数还包括：参数初始化的方差，预测的阈值。其他的还好，注意和XGBOOST调参的区别。

3.FM模型和其他模型的比较

这一部分，重点比较支持向量机，待更新。