高中幂函数、指数函数、对数函数
初等函数
- 指数幂
a^1/2 = 2厂a
a^1/3 = 3厂a
a^4/5 = 5厂a^4
a^-1 = 1/a
a^-2 = 1/a^2
a^-4/5 = 1/5厂a4
- 指数运算
a^r * a^s = a^(r+s) (a > 0, r,s∈R)
(ar)s = a^(rs)
(ab)^r = a^r * b^r
√ab = √a * √b <=> (ab)^1/2 = a1/2*b1/2
√a/b = √a/√b <=> (a*1/b)^1/2 = a^1/2 * (b-1)1/2 = √a / √b
r s 可以是所有实数，可以是正数或者负数，可以是整数或者分数，甚至可以是无理数 (a厂2)厂2 = a^2
幂函数
y = x^α
以下是幂函数：
y=x
y=x^2
y=x^3
y=x^1/2 y=√x
y=x^-1 y=1/x
以下不是幂函数：
y=2x^2
y=x^2 + 1
幂函数的性质：
-
所有的幂函数在 (0, +∞) 都有定义，并且图像都过点 (1, 1)
-
当 α > 0 时，幂函数的图像都过原点，并且在 [0, +∞) 上是增函数
当 α < 0 时，幂函数在区间(0, +∞) 上是减函数 -
当 α 为奇数时，幂函数为奇函数
当 α 为偶数时，幂函数为偶函数
当 0<α<1 时，定义域为 [0, +∞)，定义域不是关于原点对称的，因此为非奇非偶函数
关键点：
所有幂函数都过 (1, 1) 点
α=0 函数为 y=x，一条直线，过原点
α<0 双曲线，x 不能为 0，因此不过原点
α>0 连续曲线，过原点
α>0，x 轴正方向单调增
α=1 匀速增加
α>1 增速先慢后快
0<α<1 增速先快后慢
根据 α 画出 x 轴正方向的图像
根据奇偶性，画出全部图像
如果 0<α<1，定义域为 [0, +∞) ，因此只有 x 轴正方向的图像
指数函数
y = a^x (a>0 且 a!=1) 是指数函数，x 是自变量，定义域为 R
y = x^α 底数是变量，幂函数
y = a^x 指数是变量，指数函数
必须严格按照格式
y = ka^x 不是指数函数
y = a^x + b 不是指数函数
图像都在 x 轴上方，向上无限伸展，向下无限接近 x 轴
所有指数函数都过点 (0,1), f(0) = 1
底数越大，向上越靠近 y 轴
指数函数的性质：
0 < a < 1
定义域：R
值域：(0, +∞)
过点 (0, 1)，即 x=0 时，y=1
在 R 上是减函数
a > 1
定义域: R
值域：(0, +∞)
过点 (0, 1)，即 x=0 时，y=1
在 R 上是增函数
复合函数的单调性：
换元 ： 设 t = x^2+2 f(x^2+2) = f(t)
内层函数与外层函数的单调性同增异减
对数函数
对数：a^x = N (a>0 且 a≠1)，x 叫做以 a 为底 N 的对数
x = ㏒aN
a 底数
N 真数 (N > 0)
对比：
x^a = n <=> x = a√n
a^x = n <=> x = ㏒an
两种特殊的对数
以10为底的对数：log10N 记作 lgN
以e为底的对数：logeN 记作 lnN
e=2.71828…
对数常用结论：
loga1=0 logaa=1
负数与0没有对数
a^logaN = N
对数运算法则：
loga(MN) = logaM + logaN
loga(M/N) = logaM - logaN
loga(M^n) = nlogaM
换底公式
logaN = logmN / logma (a>0 a≠1 m>0 m≠1 N>0)
log 2 5 = lg5/lg2 = ln5/ln2 = log3 5/log3 2 …
logab * logba = 1 (a>0 b>0 a≠1 b≠1)
log a^m b^n = n/m log a b
对数函数：
y = log a x
- a>0 且 a≠1
- 定义域是 (0, +∞)
对数函数的性质：
a > 1
定义域：(0, +∞)
值域：R
过点(1, 0)
单调增
a < 1
定义域：(0, +∞)
值域：R
过点(1, 0)
单调减
注意
边界值：
logaN N > 0
√a a >= 0
1/a a≠0
特殊：
定义域一定写成集合形式 {x | x>0} 或者 (0, +∞)
无论是奇函数还是偶函数，定义域都要关于原点对称
反函数
以下两个函数互为反函数
y = 2^x
y = log 2 x
原函数的定义域是反函数的值域
原函数的值域是反函数的定义域
y = f(x) 的反函数通常记作 y = f-1(x)
反函数的图像关于 y=x 对称
二分法求函数零点的近似值
函数零点：使得 y=f(x)=0 的实数 x 叫做函数的 0 点
如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，如果有 f(a) * f(b) < 0，则在区间 (a,b) 上有零点
如果 f(a) * f(b) > 0，则在区间 (a,b)可能有零点也可能没有
二分法求函数的零点近似值，先确定零点所在的区间 (a, b) f(a) * f(b) < 0，取 a b 的中间值 c，看 f(c) 与 f(a) 和 f(b) 的乘积的符号，可以判断零点在 (a, c) 还是 (c, b)，然后继续取中间值
如果取到某个区间的中点x0 ，恰好使得 f(x0) = 0，那么 x0 就是零点。如果区间中点总不为0，那么不断重复上述操作，直到所要的精确度位置
总结：二分法求函数 f(x) 零点近似值的一般步骤：
- 确定区间[a,b]，验证 f(a)*f(b)<0，给定精确度δ
- 求区间 (a, b) 的中点 c
- 计算f(c)
3.1 若 f(c) = 0，则 c 就是函数的零点
3.2 若 f(a)f(c) < 0，则令 b=c
3.3 若 f(c)f(b) < 0，则令 a=c - 判断是否达到精确度，若|a-b|<δ ，则得到 a或b为零点的近似值，否则重复 2~4
