一、N进制

进制，我们日常生活中接触得非常多，譬如时间，一天是24小时，从0点开始算起，到23点，每逢24点，就重新归为0点。这种周而复始的周期性的轮回，我们可以理解为进制，即逢X进下一位，上面的例子中，就是逢24进1，因此是24进制。同样的，1小时有60分钟，对于分钟来说，则是逢60进1，因此是六十进制。当然我们生活中用的最多，也最熟练的是十进制，计算机使用的是二进制。

1、十进制

十进制在数学领域和生活中应用最为广泛，也最容易被人们所理解和运算。譬如132，即百位数为1，十位数是3，个位数是2。那么132的计算是这样进行的：百位数1×100+十位数×3+个位数×1，即 132 = 1×10^2+3×10^1+2×10^0  (我们用“^”表示幂，后面的数为幂的指数，10^2即为10的平方)。按照上面的规则，我们可以将十进制进行归纳和总结。

假定一个n位数的十进制数P，它的各位数，从高到底（如从亿位到个位）分别是A1,A2,A3...An-1,An ， 那么我们可以这样计算或表示它：

P = A1*10^(n-1)+A2*10(n-2)+A3*10^(n-3)+...Ai*10(n-i)+... An-1*10^1+An*10^0

2、二进制、八进制、十六进制、N进制

我们在生活中，用得最普遍的是十进制，但是众所周知，计算机使用的却是二进制，这是因为二进制更容易表示和实现，当然计算机使用什么进制完全是人类的设计，如果有一天有一些工程师，非要将计算机弄成三进制，其实也没有问题，据说前苏联的计算机研发就是基于三进制的，果然是战斗民族，与众不同。

但是不管是什么进制，它的原理都是一样的，我们参照上面十进制的计算方式，可以很容易的得出其他进制的计算方法，这个方法，实际上也是由其他进制转化成十进制的方法。

假定一个n位数的二进制数P，它的各位数，从高到底（如从亿位到个位）分别是A1,A2,A3...An-1,An ， 那么我们可以这样计算或表示它：

P = A1*2^(n-1)+A2*2(n-2)+A3*2^(n-3)+...Ai*2(n-i)+... An-1*2^1+An*2^0

假定一个n位数的八进制数P，它的各位数，从高到底（如从亿位到个位）分别是A1,A2,A3...An-1,An ， 那么我们可以这样计算或表示它：

P = A1*8^(n-1)+A2*8(n-2)+A3*8^(n-3)+...Ai*8(n-i)+... An-1*8^1+An*8^0

如果我们再将上面的方法进行归纳，我们就可以得出，对于一个R进制的数，如果我们要把它转化成十进制，可以这样计算：

假定一个n位数的R进制数P，它的各位数，从高到底（如从亿位到个位）分别是A1,A2,A3...An-1,An ， 那么我们可以这样计算或表示它：

P = A1*R^(n-1)+A2*R(n-2)+A3*R^(n-3)+...Ai*R(n-i)+... An-1*R^1+An*R^0

为了大家更好的理解，我们举例来说明一下。

567（8） = 5×8^2+6×8^1+7×8^0 = 375

15（16） = 1×16^1+5×16^0 = 21

1010 （2） = 1×2^3+0×2^2+1×2^1+0×2^0 = 10

需要特别指出的是，在十六进制中，因为它的范围是0～15，但是我们的数字中只有0～9，那么剩下的10～15，我们不能用数字来表示，因此我们一般用A～F来表示，它们分别代表了10～15。

如： 2D （16） = 2×16^1+13×16^0 = 45

二、进制的转化

1、R进制转十进制

R进制转十进制的问题，上面已经具体介绍了，唯一需要介绍的是，如果R进制有小数部分该如何计算呢？其实很简单，我们观察一下。

132.21（10） = 1×10^2+3×10^1+2×10^0+2×10^(-1)+1×10^(-2)

其实，小数部分，就是指数为负即可。举例说明

110.11（2） = 1×2^2+1×2^1+0×2^0+1×2^(-1)+1×2^(-2) =  6.75

2、十进制转R进制

2.1 整数部分

 43（10）= 101011 （2）

整数十进制转二进制

具体做法就是：不断除以2，剩下的商继续往下除，留下的余数，倒序排列即可。如果是转成R进制，就是不断的除R，其他参照上面。

2.2 小数部分

   0.375（10）= 0.011（2）

小数十进制转二进制

具体做法是：将小数部分不断乘以2，取整数部分，并且每次只遗留小数部分继续相乘，直到小数部分为0才结束。当然，有一些数，是永远都无法计算为0，因此小数部分无法保证其精准，但是相乘的次数越多，精度就越高，也就是越逼近真实值。如果是R进制，那么此处应当是乘以R，其他和上面做法一样。

四、练习

历年题目

1、【2010提高】与16进制数A1.2等值的10进制数是（）

A．101.2      B．111.4

C．161.125     D．177.25

2、【2010普及】2E+03表示 （）

A．2.03        B．5         C．8        D．2000

3、【2009提高】在字长为16位的系统环境下，一个16位带符号整数的二进制补码为1111111111101101。其对应的十进制整数应该是(  )

A．19             B．-19          C．18           D．-18

4、【2009普及】十进制小数125.125对应的八进制数是(  )

A．100.1          B．175.175          C．175.1         D．100.175

5、【2008提高】与十进制数28.5625相等的四进制数是(  )

A．123.21           B．131.22            C．130.22      D．130.21          E．130.20

6、(2008)10+(5B)16的结果是(    )。 （不定项选择）

A．（833）16            B．（2099）10        C．（4063）8         D．（100001100011）2

7、【2007模拟】算式(1000)10－(100)16－(10)8的结果是(     )。（不定项选择）

A.（890）10           B. (986)8             C. (1011100000)2        D. (2E0)16       E. (736)10

8、【2007提高】与十进制数17.5625相对应的8进制数是(      )

A. 21.5625        B. 21.44          C. 21.73          D. 21.731      E.前4个答案都不对

9、(2070)16+(34)8的结果是(       ). （不定项选择）

A. (8332)10          B. (208C)16         C. (100000000110)2          D. (20214)8

题解：统一为二进制运算，然后再转其他进制

10、【2007普及】与十进制数1770对应的八进制数是(     )。

A．3350              B．3351            C．3352          D．3540

11、【2006提高】与十进制数1770.625对应的八进制数是（）。

A. 3352.5          B. 3350.5           C. 3352.1161       D. 3350.1151       E.前4个答案都不对

12、(2010)16 + (32)8的结果是（）。(不定项选择)

A. (8234)10      B. (202A)16      C. (100000000110)2        D. (2042)16

答案：

1～5   C、D、B、C、D

6～10  ABC、CDE、B、ABD、C

11~12  A 、AB