向量范数的定义，无穷大范数是分量绝对值最大者的证明

2019-06-25 本文已影响0人壮志_凌云

设 $x$ 是 $n$ 维向量，则 $x$ 的 $L_p$ 范数定义为：

$L_p = ( \sum_{i=1}^{n} |x_i| ^p ) ^{\frac{1}{p} }, p \geq 0$

证明： $L_\infty = max \{ |x_1|, |x_2|, \dots , |x_n| \}$ 。

解答：设 $x_{max} = max \{ |x_1|, |x_2|, \dots , |x_n| \}$ ，则

$1 \leq \frac{L_p}{x_{max}} = ( \sum_{i=1}^{n} (\frac{|x_i|}{x_{max}} ) ^p ) ^{\frac{1}{p} } \leq n^{\frac{1}{p} }$

因为 $\lim_{p \to \infty} n^{\frac{1}{p} } = 1$ ，故 $\lim_{p \to \infty} \frac{L_p}{x_{max}} = 1$ ，即 $L_\infty = x_{max}$ 。

命题证毕。