001【数学篇】向量基础知识

2020-01-28 本文已影响0人七哥The7

向量与标量

先说物理学上对vector的定义：

具有大小和方向的量

也就是说vector在描述事物的时候，不仅指明了事物在观测时间的状态，还指明了状态的发展方向，即：趋势

要搞清楚vector，就必须先说明标量scalars，scalars相比于vector，只描述了事物的状态，并未指明以后的发向

这里我们拿1级的鲁班来举个栗子，我们假设1级的鲁班，刚出生时的智商是-1，战力是2，那么用scalar描述鲁班，是这个样子的：

image-20190728155625006.png

而用vector描述鲁班，却是这个样子的：

image-20190728160329907.png

看到区别了吗？vector不仅描述了大小，还说明了方向。

这里要说明的是：

上面的举例引用了2个参数，所以我在2维空间中进行表述，如果有3个参数(例如：鲁班还有攻击范围)，则应该在3维空间中进行描述……
物理学中的向量是可以随意移动的，只要保持大小和方向不变即可(想像一下：1级的鲁班从泉水跑到大龙，位置变了，但是智商和战力却没有变)；而在数学领域，为了表述方便，一般固定以坐标轴原点作为方向的射出点
最后，一个向量不会因观测而发生变化；什么意思呢？1级的鲁班在没有外界影响的情况下，你上午看它是智商-1，下午看它还是智商-1……

最后要说的是，在计算机领域对1级鲁班的描述，应该是酱紫滴：
$\vec{v}=[-1,2]^T$

加法运算

什么是加法呢？

举个栗子，七哥过年回家可以选择这样的路线：c=「广州-武汉」，然后再转车w=「武汉-当阳」，而产生的位移量与z=「广州-当阳」相等，也就是说，向量c+w=z

所以，向量相加代表的意义是什么呢？

物理学上，向量相加表示向量的线性组合（linear combination），满足平形四边形对角线法则或者三角形法则
而在数学上，可以认为是在同一线性空间内的一种映射关系，即：RXR->R;相加后的向量，仍属于同一线性空间

另外向量的加法满足交换律，这个不多描述。

加法运算逻辑

这里我们还是拿鲁班来举例，很明显我们知道，「智商」+「战力」是不可行的，因为这俩都不是一个单位，没法搞。但是「鲁班」可以跟「电玩小子」相加吗？必须滴……这是大家都知道的事儿

比如1级鲁班：
$\vec{v}= \left[ \begin{matrix} -1\\ 2 \end{matrix} \right]$
电玩皮肤：
$\vec{w}= \left[ \begin{matrix} 4\\ 2 \end{matrix} \right]$
那么穿戴电玩皮肤的1级鲁班的向量组合(Linear Combination)就是：
$\vec{v}+\vec{w}= \left[ \begin{matrix} -1\\ 2 \end{matrix} \right]+ \left[ \begin{matrix} 4\\ 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 3\\ 4 \end{matrix} \right]$
我们用2维坐标轴表示，应该就是这样的：

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正好是平等四边形的对角线

几种基础加法运算

向量v放大以倍以后与放大d倍的向量w的线性组合

$c\vec{v}+d\vec{w}\tag{1}$

0向量(注意：它仍然是向量，其元素都是0而已，可以理解为0维空间，宇宙奇点，哈哈～)

$0\vec{v}+0\vec{w}=0\tag{2}$

向量压缩(将向量w降维至0维，然后与v进行线性组合，组合后的向量与v在同一方向）

$c\vec{v}+0\vec{w}=c\vec{v}\tag{3}$

最后，上述例子主要是基于2维空间进行表述，同样的做法可以推广至3维，甚至N维空间……这个就需要自行脑补了

乘法运算

乘法的逻辑主要体现在线性变换中，例如：图片缩小/放大、拉伸、翻转等，后续如有空会专门写文章重点说明，这里大概举个例子说明下计算过程

$\vec{v}= \left[ \begin{matrix} -1&4\\ 2&2 \end{matrix} \right] ， \vec{w}= \left[ \begin{matrix} 1\\ 2 \end{matrix} \right]$
两者相乘的结果就是：
$\vec{v} \cdot \vec{w}= \left[ \begin{matrix} -1&4\\ 2&2 \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} 1\\ 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1*1+4*2\\ 2*1+2*2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 7\\ 6 \end{matrix} \right]$
大致意思就是， $\vec{w}$ 向量经由 $\vec{v}$ 的线性变换之后，映射到新的向量……