学生姓名：陆文龙

班级：14级材料班

学号：2014301020044

一、摘要

本次作业以第7章（random systems）为主,探究了以下问题

1、每次随机行走等单位长度1的粒子的随机行走演示，并计算了一维情况下粒子与原点距离的方均根随时间的变化情况

2、每次行走随机单位长度（-1,1）粒子的演示和方均根情况

3、自回避随机行走（self-avoiding walks）的有趣问题

4、分别用“随机行走”的方法和“公式演化”的方法模拟扩散现象，并且拓展到二维情况

5、画散点图模拟“冰淇淋融化在咖啡里”的粒子运动情况

6、Eden cluster 和 DLA cluster两种模型的模拟

7、顺便探究了一下11章的开头，更深入探究了吉他弦的振动情况

二、背景

随机行走的产生主要靠调用Python里的random函数

扩散问题的公式演化是一直用的模拟演化手段

三、引言

随机行走（random walk）是指基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向。核心概念是指任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律 ，对于我们解决热力学问题有很好的辅助作用，，它接近于布朗运动，是布朗运动理想的数学状态

上图布朗运动的模拟调用了threading，是参考的网上别人的代码 ：布朗运动

四、主体

  1、单位长度的随机行走    代码1:单位长度随机行走演示

                                             代码2：<x^2>随时间变化

由于是随机行走，再运行一次，结果将完全不同

<x^2>随时间的关系图  

用计算机拟合的曲线是0.9994 x + 0.2927

2、（-1,1）随机距离的随机行走   代码1：随机距离的随机行走

                                     代码2：<x^2>（随机距离的随机行走）

这种情况某一次实验拟合出来的直线是0.3239 x + 0.3302   斜率比单位距离小，约3倍关系

3、自回避随机行走（self-avoiding walks）的有趣问题

代码：自回避行走

我们可以将自回避行走问题放在具体情境中考虑

   假设我们把一条狗放置在一个大城市的中心位置，大城市的街道构成我们所熟悉的网格模式。假设城市包括n条南北走向的街道和n条东西走向的街道，所有的街道均匀分布交叉构成一个网格。这条狗试图逃出城市，在每个交叉路口随机选择方向，但通过狗的灵敏嗅觉不走重复的路。有时候这条狗会走入死胡同，即在某些交叉路口没有选择，必须重走已经走过的交叉路口，请问走入死胡同的概率是多大？（摘自网络）

我将问题稍微简化一下，假设路口选择方向是随机的，一旦选择了已经走过的地点，则为deadend（即“狗的灵敏嗅觉不走重复的路”这种选择条件弱化去掉）

我选择21*21的网格，狗一开始处于网格中点（10,10）处，运行程序会分解步骤画出成功脱逃的路线选择，显示我运行的成功出逃的结果

4、用“随机行走”的方法和“公式演化”的方法模拟扩散现象，并且拓展到二维情况

代码1：一维扩散（随机行走法解决）

代码2：一维扩散（计算推演解决）

代码3：二维扩散演示

随机行走法解决一维扩散问题 公式推演解决一维扩散

相比于随机行走法，计算法还是较好，得出来的图像较为平滑

二维扩散图演示

5、散点图模拟“冰淇淋融化在咖啡里”的粒子运动情况

       代码：cream in coffee

将一幅幅图集合成GIF动图结果和分开图如下

GIF

6、Eden cluster 和 DLA cluster两种模型的模拟

代码1：Eden clusters

代码2：DLA clusters

PS：为了避免不必要的版面浪费，接下来都将几幅图和成了GIF动图，按时间顺序更直观演示（虽然随机过程每次重复结果都不同，合成动图也都是分多次运行的程序，但还是有一定直观性）

上面是按Eden 模型模拟的结果，可以看出粒子是基本以中心为基础向外展开，逐渐扩展边界（图形内部虽然会出现空洞，但马上会被填满）

下面演示DLA clusters模型比较简陋，仅仅演示了单一分支的情况

7、附带进一步延续第六章探究的吉他弦的问题

代码：吉他弦

吉他附带都有一个soundboard，它的作用相当于一个放大器，弦振动引起它的振动，它激荡空气，产生声波

弦线的一端通过bridge，而bridge与soundboard紧紧连在一起，弦振动的力量直接传到soundboard上，作用在其上的力为

根据以上所述知识，我们在1/5L处拉弦（pluck）即此时“plucking ratio”β=1/5    L=0.65m,T=149N,c=320m/s,弦线分成1000份，dx=0.65mm

Fbridge与x=0处的斜率成正比，上图显示x=0处斜率确实在两个值间摆动，

频谱分析：傅里叶分析会有一系列峰值，f1,2f1,3f1,4f1...... ，nf1即为harmonics,在n=1/β，2/β......

时峰值归零，

我的β=1/5，在n=5,10,15......时峰值归零，从上图可以看出程序模拟的满足理论。

PS：当把弦分成100分时，弦振动会呈现锯齿状

这是我们所用公式的固有特征，当我们起始是急剧的拉一下，使斜率在起始plucking point不连续 ，我们用上面的公式将总是演化出锯齿状的图形

五、实验结论

1、对于一维的单位长度随机行走，粒子在原点附近摆动，<x^2>随时间线性增加。（<x^2>=0.9994 x + 0.2927）随机距离（-1~1）时，结论不变，<x^2>随时间线性增加速度降低(<x^2>=0.3239 x + 0.3302)。

2、自回避运动很有趣，在高分子材料研究和游戏开发方面很有用。

3、“随机行走”的方法和“公式演化”的方法都可以模拟扩散现象，但公式法显然精准一些，但随着样本数量上升，随机模拟的方法也会越来越准确，并且，后者思想简单，在较高运算条件下能解决的问题更多

4、散点图模拟“冰淇淋融化在咖啡里”的粒子运动情况，十分直观显示了粒子群体的微观运动状态

5、Eden cluster 和 DLA cluster两种模型的扩散方法不同，直观见上面的图

6、吉他弦加在琴桥上的力Fbridge的傅里叶分析会有一系列峰值，f1,2f1,3f1,4f1...... ，nf1即为harmonics,在n=1/β，2/β......时峰值归零

六、致谢

1、计算物理

2、百度百科