第7课 求解AX=0,主变量，特解

2019-06-01  本文已影响0人  rascalpotato

如何找出矩阵的零空间和列空间的向量？

如何计算这些向量？

从定义转向算法，求解AX=0的算法，主讲零空间。

A = \begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix}\underrightarrow{E_{21},E_{32}} \begin{bmatrix}1&2&2&2\\0&0&2&4\\0&0&2&4\end{bmatrix}\underrightarrow{E_{33}} \underbrace{\begin{bmatrix}1&2&2&2\\0&0&2&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}}_{U}

矩阵中最重要的数，主元，数量为2，该数字称为矩阵的“秩”（主元个数也称主变量个数）

2个主列（第一列和第三列）

2 个自由列（第二列和第四列）。自由列表示可以自由分配数值UX=0，x_2,x_4可以任取（列二和列四的乘数是任意的）

将U回代方程组：
\begin{cases} x_1+2x_2+2x_3+2x_4=0 \\ 2x_3+4x_4=0 \end{cases}

零空间的一个向量，自由列任取数值
X=\underbrace{\begin{bmatrix}x_1\\1\\x_3\\0\end{bmatrix}}_{自由列值}\underbrace{\to}_{代入方程组} X=\underbrace{\begin{bmatrix}-2\\x_2\\0\\x_4\end{bmatrix}}_{主列值}\underbrace{\to}_{组合自由列与主列} X=c\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}
另一个向量
X=\underbrace{\begin{bmatrix}x_1\\0\\x_3\\1\end{bmatrix}}_{自由列值}\underbrace{\to}_{代入方程组} X=\underbrace{\begin{bmatrix}2\\x_2\\-2\\x_4\end{bmatrix}}_{主列值}\underbrace{\to}_{组合自由列与主列} X=d\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}
以上两个向量称为特解

特定在于给自由变量分配特定值，通过特解能构造出整个零空间，有了特解就有其任意倍数，其任意倍数都在零空间内，特解的线性组合构成整个零空间

消元 --> 主元个数(r) --> 剩下自由变量个数(n-r) --> 令自由变量为0和1

简化行阶梯形式：R（rref（行简化阶梯首字母））
\underbrace{\begin{bmatrix}1&2&2&2\\0&0&2&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}}_{U}\underrightarrow{R_{1}-R_{2}} \begin{bmatrix}1&2&0&-2\\0&0&2&4\\0&0&0&0\end{bmatrix} \underrightarrow{R_2/2} \underbrace{\begin{bmatrix}1&2&0&-2\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}}_{R}
row_3为0表示是其他行的线性组合，会被消元剔除

简化行阶梯以最简形式包含了所有信息

  1. 主行（行一，行二）
  2. 主列（列一，列三）
  3. 单位阵（位于主行主列交汇处）
  4. 自由列（列二列四）
  5. 特解更简单被计算出来

(AX \to UX \to \underbrace{R}_{行最简}X) = 0

主列：
I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}

自由列：
F=\begin{bmatrix}2 &-2\\0&2\end{bmatrix}
2个特解，由主列与自由列组成，它们取自由列中各数的相反数
X=c\begin{bmatrix}-F_{11}\\I_{11}\\-F_{21}\\I_{21}\end{bmatrix} + d\begin{bmatrix}-F_{12}\\I_{12}\\-F_{22}\\I_{22}\end{bmatrix}= c\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix} + d\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}

方程组的rref形式：R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}

构造一个“零空间矩阵”，它的各列由特解组成使 RN=0
N = \begin{bmatrix}-F\\I\end{bmatrix}\\X=\begin{bmatrix}X主变量\\X自由变量\end{bmatrix}

RX=0 \rightarrow \begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X_主\\ X_自\end{bmatrix} = 0\rightarrow X_主+ FX_自=0 \rightarrow X_主=-FX_自

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