记录一道日经题

2019-10-03 本文已影响0人洛玖言

日经题

题目很简单，但是错的人很多，问的人也很多

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x^2}}{e^x}$
看到有些人是这样做的：
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x^2}}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{\left[\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\right]^x}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{e^x}=1$
但实际上这种做法是错误的，在取极限的时候有一个同时性，
上面做法就是没有考虑到同时性，所以我的做法是避免去分开取极限：

$\begin{aligned} &\lim_{x\to\infty}\dfrac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}}{e^x}\\ =&\lim_{x\to\infty}\exp\left[x^2\ln\left(1+\dfrac1x\right)-x\right]\\ =&\lim_{x\to\infty}\exp\left[x^2\left(\frac1x-\dfrac{1}{2x^2}+o(\dfrac1{x^2})\right)-x\right]\\ =&\exp(-\dfrac12)=e^{-\frac12} \end{aligned}$

这样就不会出现没有考虑同时性的问题了

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日经题

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