1.引言

（本文参考AI圣经《深度学习》一书，仅作为学习交流）
本文梳理SGD，标准动量SGD，Nesterov动量SGD算法，以及Adagrad, AdaDelta，Adam，RMSProp，Nesterov动量RMSProp自适应学习率算法
在深度学习中我们定义了损失函数以后，会采取各种各样的方法来降低损失函数。不过损失函数的数值只是我们用来优化模型中参数的一个参考量，我们是通过优化损失函数来间接地优化模型参数，并提高模型的度量指标。假设我们需要优化的目标函数为J(\theta):
J(\theta)=E_{(x,y)\hat{p}_{data}}L(f(x;\theta),y)
其中L是每个样本的损失函数，f(x;\theta),y)是输入x时所预测的输出，y是目标输出，\hat{p}_{data}是训练集上的经验分布。但理论上希望p_{data}是真实的数据生成分布。在机器学习中，我们用经验分布来代替真实分布，毕竟你无法收集到所有的样本数据，而是仅采用训练集进行训练。但我们仍然不知道数据的分布是怎么样的，我们只能通过求期望，并将期望损失最小化来将这个机器学习问题转换为一个优化问题。我们优化的目的就是为了最小化经验风险：
E_{(x,y)\hat{p}_{data}}L(f(x;\theta),y)=\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}L(f(x^{(i)};\theta),y^{(i)})
其中m是训练样本的数目。
基于这种最小化平均训练误差的训练过程被称为经验风险最小化。

2. 批量算法和小批量算法

在深度学习的训练中，训练集中的样本数量往往是成千上万的，通过遍历每一个样本对期望进行计算所需要的计算量是非常大的。在实际中，往往是在训练集中少量采样一些数据拿来计算，然后求出这些样本的平均值。
实际上可以找到两个理由来支撑为何采用小批量算法：
第一，n个样本的均值的标准差是\sigma/\sqrt{n}，其中\sigma是样本值真实的标准差。分母\sqrt{n}说明样本数量的贡献是低于线性的，可以算一下，我们用100个样本和用10000个样本来计算均值标准差，多用了100倍的数据，却只降低了10倍的标准差。如果能够迅速求出估计值，而不是缓慢计算准确值，会加快算法的收敛速度。
第二，训练集中经常会存在冗余的情况，完全有可能出现相同数据，如果重复了m次，那么用小批量算法就可以少花m倍的时间。

3. SGD算法与引入动量的SGD算法

3.1 SGD算法

随机梯度下降法（SGD）是一种非常经典的优化算法，常应用在机器学习中，尤其是深度学习中。首先从训练集中随机选取m个样本的生成得到一个小批量，然后计算他们的梯度均值。

算法:SGD在k个训练迭代的参数更新
输入：学习率\epsilon_k
输入：初始参数\theta
while 未满足停止条件 do
从训练集中采集包含m个样本\{x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}\}的小批量，其中数据x^{(i)}和对应目标y^{(i)}
计算梯度估计：\hat{g}\leftarrow \frac{1}{m}\nabla_{\theta}L(f(x^{(i)},\theta),y^{(i)})
更新参数：\theta\leftarrow \theta-\epsilon\hat{g}
end while

SGD中的超参数是学习率，在实际的训练中，我们需要逐步地降低学习率，因此将第k步的学习率记为\epsilon_k，通常采用指数衰减的策略对学习率进行调整。

3.2 动量SGD算法

动量是一个物理学中类比过来的概念，它是为了解决经典的SGD收敛速度慢的问题而提出的。它能够保留上一轮更新中的参数更新增量，并加入该轮的梯度。
参数更新变为：\theta \leftarrow \theta+v
v的更新为：v \leftarrow \alpha v-\epsilon \nabla_{\theta}J(\theta)
其中\alpha是动量参数，\nabla_{\theta}J(\theta)是当前轮次计算得到的梯度。
可以发现参数\theta更新不再是仅仅加上梯度变化\hat{g}=\nabla_{\theta}J(\theta)，而是加了个速度v，这个v就表示引入的动量元素，通过式子也可以看出来：第一，它可以保留上一次的梯度信息，通过动量参数\alpha来控制上一次的更新量对本次更新量的影响，注意到它是一个非负项，所以它起到了“惯性”的作用，上一次的增量大则带给本次更新的增量影响就大；如果上一次的增量小，那么它带给本次更新的增量影响就小。
可以对SGD算法和动量SGD算法进行对比：
经典SGD算法：
1.直接用梯度更新参数\theta.
\theta\leftarrow \theta-\epsilon\hat{g}
动量SGD算法：

1. 计算速度v更新. 2. 利用速度v来更新参数\theta.
   \begin{aligned} &v \leftarrow \alpha v-\epsilon \hat{g}\\ &\theta\leftarrow \theta+v \end{aligned}

给出动量SGD算法流程如下：

算法:引入动量的SGD在k个训练迭代的参数更新
输入：学习率\epsilon，动量参数alpha
输入：初始参数\theta,初始速度v
while 未满足停止条件 do
从训练集中采集包含m个样本\{x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}\}的小批量，其中数据x^{(i)}和对应目标y^{(i)}
计算梯度估计：\hat{g}\leftarrow \frac{1}{m}\nabla_{\theta}L(f(x^{(i)},\theta),y^{(i)})
计算速度更新：v \leftarrow \alpha v-\epsilon \hat{g}
更新参数：\theta\leftarrow \theta+v
end while

3.3 Nesterov动量SGD算法

Nesterov动量SGD算法与标准动量算法类似，只不过在计算梯度前对参数\theta进行了校正。使得在计算梯度之前给参数\theta加上一个动量因子，而不是原模原样地把上一次的\theta拿来求解梯度。可以做一下对比：
标准动量SGD算法中的梯度估计：
1.直接用上一次更新得到的\theta求梯度
\hat{g}\leftarrow \frac{1}{m}\nabla_{\theta}L(f(x^{(i)},\theta),y^{(i)})
Nesterov动量SGD算法中的梯度估计：
1.用上一次更新得到的\theta先求一个临时参数.
2.用临时参数求梯度.
\begin{aligned} &\widetilde{\theta}\leftarrow \theta+\alpha v\\ &\hat{g}\leftarrow \frac{1}{m}\nabla_{\theta}L(f(x^{(i)},\widetilde{\theta}),y^{(i)})\\ \end{aligned}

给出Nesterov动量的SGD算法流程如下：

算法:引入Nesterov动量的SGD在k个训练迭代的参数更新
输入：学习率\epsilon，动量参数alpha
输入：初始参数\theta,初始速度v
while 未满足停止条件 do
从训练集中采集包含m个样本\{x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}\}的小批量，其中数据x^{(i)}和对应目标y^{(i)}
计算临时参数：\widetilde{\theta}\leftarrow \theta+\alpha v
计算梯度估计：\hat{g}\leftarrow \frac{1}{m}\nabla_{\theta}L(f(x^{(i)},\widetilde{\theta}),y^{(i)})
计算速度更新：v \leftarrow \alpha v-\epsilon \hat{g}
更新参数：\theta\leftarrow \theta+v
end while

4.自适应学习率算法

学习率本身就是很难调试的一个超参数，这是工业界公认的事情。动量算法只能在一定程度上缓解调参的压力，但代价是多引入了一个超参数。总有人会想有没有更简便的方法，于是就提出来了Adagrad, AdaDelta, Adam, RMSProp, 动量RMSProp等自适应学习率算法。本节梳理各个算法流程，并进行对比。

4.1Adagrad算法

算法:Adagrad算法
输入：全局学习率\epsilon
输入：初始参数\theta
输入：小常数\delta，为了数值稳定大约设置为10^{-7}
初始化梯度累积量r=0
while 未满足停止条件 do
从训练集中采集包含m个样本\{x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}\}的小批量，其中数据x^{(i)}和对应目标y^{(i)}
计算梯度估计：g\leftarrow \frac{1}{m}\nabla_{\theta}L(f(x^{(i)},{\theta}),y^{(i)})
累积平方梯度：r \leftarrow r+g \odot g
计算参数更新量：\Delta \theta \leftarrow-\frac{\epsilon}{\delta+\sqrt{r}}\odot g
更新参数：\theta\leftarrow \theta+\Delta \theta
end while

Adagrad算法可以说是与SGD算法的框架非常像了，我们来对比一下区别之处：
SGD算法中的参数更新：
1.直接用梯度来更新参数\theta
\theta\leftarrow \theta-\epsilon g
Adagrad算法中的参数更新：
1.梯度累积变量与梯度内积累加得到累积平方梯度.
2.利用累积平方梯度计算参数更新量\Delta \theta。
3.利用参数更新量\Delta \theta更新参数\theta.
\begin{aligned} &r \leftarrow r+g \odot g\\ &\Delta \theta \leftarrow-\frac{\epsilon}{\delta+\sqrt{r}}\odot g\\ &\theta\leftarrow \theta+\Delta \theta \end{aligned}

4.2 AdaDelta

算法:AdaDelta算法在第k轮的迭代
输入：衰减率\rho, 全局学习率\epsilon
输入：初始参数\theta_k
初始化梯度累积量E[g^2]_0=0,E[\Delta \theta ^2]_0=0
while 未满足停止条件 do
从训练集中采集包含m个样本\{x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}\}的小批量，其中数据x^{(i)}和对应目标y^{(i)}
计算梯度：g_k \leftarrow \frac{1}{m}\nabla_{\theta}L(f(x^{(i)},{\theta}),y^{(i)})
累积梯度平方期望：E[g^2]_k \leftarrow \rho E[g^2]_{k-1}+(1-\rho)g^2_k
计算参数更新量：\Delta \theta_k \leftarrow-\frac{ \sqrt{E[\Delta \theta^2]_{k-1}+\epsilon}}{\sqrt{E[g^2]_k+\epsilon}}g_k=\frac{RMS[\Delta \theta]_{k-1}}{RMS[g]_{k}}g_k
缓存累积更新：E[\Delta \theta^2]_k \leftarrow \rho E[\Delta \theta^2]_{k-1}+(1-\rho)\Delta \theta^2
更新参数：\theta_{k+1}\leftarrow \theta_k+\Delta \theta_k
end while

AdaDelta算法是adagrad算法的延伸和改进，他们的不同之处在于：
Adagrad算法中的参数更新：
1.梯度累积变量与梯度内积累加得到累积平方梯度.
2.利用累积平方梯度计算参数更新量\Delta \theta。
3.利用参数更新量\Delta \theta更新参数\theta.
\begin{aligned} &r \leftarrow r+g \odot g\\ &\Delta \theta \leftarrow-\frac{\epsilon}{\delta+\sqrt{r}}\odot g\\ &\theta\leftarrow \theta+\Delta \theta \end{aligned}
AdaDelta算法中的参数更新：
1.计算累积平方期望E[g^2]_k.
2.计算参数更新量\Delta \theta_k.
3.缓存累积更新E[\Delta \theta^2]_k.
4.利用参数更新量\Delta \theta更新参数\theta.
\begin{aligned} &E[g^2]_k \leftarrow \rho E[g^2]_{k-1}+(1-\rho)g^2_k \\ &\Delta \theta_k \leftarrow-\frac{ \sqrt{E[\Delta \theta^2]_{k-1}+\epsilon}}{\sqrt{E[g^2]_k+\epsilon}}g_k=\frac{RMS[\Delta \theta]_{k-1}}{RMS[g]_{k}}g_k\\ &E[\Delta \theta^2]_k \leftarrow \rho E[\Delta \theta^2]_{k-1}+(1-\rho)\Delta \theta^2\\ &\theta_{k+1}\leftarrow \theta_k+\Delta \theta_k\\ \end{aligned}

4.3RMSProp算法

算法:RMSProp算法
输入：全局学习率\epsilon，衰减率\rho
输入：初始参数\theta
输入：小常数\delta，为了数值稳定大约设置为10^{-6}
初始化梯度累积量r=0
while 未满足停止条件 do
从训练集中采集包含m个样本\{x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}\}的小批量，其中数据x^{(i)}和对应目标y^{(i)}
计算梯度估计：g\leftarrow \frac{1}{m}\nabla_{\theta}L(f(x^{(i)},{\theta}),y^{(i)})
累积平方梯度：r \leftarrow \rho r+(1-\rho)g \odot g
计算参数更新量：\Delta \theta \leftarrow-\frac{\epsilon}{\sqrt{\delta+r}}\odot g
更新参数：\theta\leftarrow \theta+\Delta \theta
end while

RMSProp算法实际上对AdaGrad算法做出了改进，修改了累积平方梯度和参数更新量的计算方法，在非凸情况下比AdaGrad效果较好。
RMSProp算法和AdaGrad算法区别在于：
AdaGrad算法：
1.梯度累积变量与梯度内积累加得到累积平方梯度.
2.利用累积平方梯度计算参数更新量\Delta \theta。
\begin{aligned} &r \leftarrow r+g \odot g\\ &\Delta \theta \leftarrow-\frac{\epsilon}{\delta+\sqrt{r}}\odot g\\ \end{aligned}
RMSProp算法：
1.梯度累积变量与梯度内积累加得到累积平方梯度.
2.利用累积平方梯度计算参数更新量\Delta \theta。
\begin{aligned} &r \leftarrow \rho r+(1-\rho)g \odot g\\ &\Delta \theta \leftarrow-\frac{\epsilon}{\sqrt{\delta+r}}\odot g\\ \end{aligned}

4.3Nesterov动量RMSProp算法

算法:Nesterov动量RMSProp算法
输入：全局学习率\epsilon，衰减率\rho，动量系数\alpha
输入：初始参数\theta, 初始速度参数v
初始化梯度累积量r=0
while 未满足停止条件 do
从训练集中采集包含m个样本\{x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}\}的小批量，其中数据x^{(i)}和对应目标y^{(i)}
计算临时参数：\widetilde{\theta} \leftarrow \theta+\alpha v
计算梯度估计：g\leftarrow \frac{1}{m}\nabla_{\theta}L(f(x^{(i)},{\widetilde{\theta}}),y^{(i)})
累积平方梯度：r \leftarrow \rho r+(1-\rho)g \odot g
计算速度更新：v \leftarrow \alpha v-\frac{\epsilon}{\sqrt{r}}\odot g
更新参数：\theta\leftarrow \theta+v
end while

给出RMSProp算法与动量RMSProp算法的区别：
RMSProp算法：
1.梯度累积变量与梯度内积累加得到累积平方梯度.
2.利用累积平方梯度计算参数更新量\Delta \theta.
3.利用参数更新量\Delta \theta更新参数\theta.
\begin{aligned} &r \leftarrow \rho r+(1-\rho)g \odot g\\ &\Delta \theta \leftarrow-\frac{\epsilon}{\sqrt{\delta+r}}\odot g\\ &\theta\leftarrow \theta+\Delta \theta \\ \end{aligned}
Nesterov动量RMSProp算法：
1.计算临时参数\widetilde{\theta}
2.利用临时参数计算梯度g$$
3.计算累积平方梯度r
4.计算速度更新v
5.利用速度更新参数\theta

\begin{aligned} & \widetilde{\theta} \leftarrow \theta+\alpha v\\ &g\leftarrow \frac{1}{m}\nabla_{\theta}L(f(x^{(i)},{\widetilde{\theta}}),y^{(i)})\\ &r \leftarrow \rho r+(1-\rho)g \odot g\\ &v \leftarrow \alpha v-\frac{\epsilon}{\sqrt{r}}\odot g\\ &\theta\leftarrow \theta+v \\ \end{aligned}

4.4Adam算法

算法:Adam算法
输入：全局学习率\epsilon（建议默认0.001）
输入：矩估计的指数衰减率，\rho_1,\rho_2在区间[0,1)内（建议默认0.9和0.999）
输入：用于数值稳定的小常数\delta(建议默认10^{-7})
输入：初始参数\theta
初始化一阶和二阶矩变量s=0, r=0
初始化时间步t=0
while 未满足停止条件 do
从训练集中采集包含m个样本\{x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}\}的小批量，其中数据x^{(i)}和对应目标y^{(i)}
计算梯度：g\leftarrow \frac{1}{m}\nabla_{\theta}L(f(x^{(i)},{\theta}),y^{(i)})
t \leftarrow t+1
更新有偏一阶矩估计：s \leftarrow \rho_1s+(1-\rho_1)g
更新有偏二阶矩估计：r \leftarrow \rho_2r+(1-\rho_2)g\odot g
修正一阶矩的偏差：\hat{s} \leftarrow \frac{s}{1-\rho^t_1}
修正二阶矩的偏差：\hat{r} \leftarrow \frac{r}{1-\rho^t_2}
计算更新量：\Delta \theta \leftarrow -\epsilon\frac{\hat{s}}{\sqrt{\hat{r}}+\delta}
计算更新：\theta \leftarrow \theta+\Delta \theta
end while

Adam算法与其他的优化算法相比，区别还是比较大的，在参数更新的过程中，首先计算了有偏一阶矩和二阶矩，然后修正一阶矩和二阶矩的偏差，再用修正后的一阶和二阶矩求解参数更新量，最后利用参数更新量对参数进行更新。

5.关于优化的二阶方法

前面提到的优化方法基本上都是利用一阶导数进行优化的方法，常用的二阶近似方法有：牛顿法，共轭梯度法，BFGS.以后有机会再来更新吧.

顺便推荐一下几个博客吧
https://blog.csdn.net/blue_jjw/article/details/50650248
https://blog.csdn.net/u012759136/article/details/52302426