庞加莱《关于数学的创造》摘选
“通常，一个人思考困难问题时，最初的工作不会带来太好的结果。休息一会儿，或者更长时间，然后重新坐下来工作。在开始半小时，像以前一样，没什么发现，然而突然决定性的想法呈现在思想面前。最令人震惊的是福至心灵的瞬间，反映了长时间、无意识的预备工作......”
不是每个人都能创造数学，这一点毫不神奇。不是每个人学习了某个定理证明以后都能灵活运用它，这也毫不为怪。然而不是每个人都能够领会数学分析思维，即使反复解释也不能——仔细思考这一点就让人感到惊异了。而且能跟上分析思维的人，大多数也感到困难，这是不可否认的；相信每个当过中学教师的人都对此深有体验。
对于我自己，我承认，我甚至连做加法都很难不犯错误。我的记忆力不坏，但也不足以让我成为一个好的象棋选手。为什么令大多数象棋选手感到吃力的数学题，却不会难倒我呢？显然是因为它是由普通的分析步骤构成的。数学证明并不是简单的演绎法的排列，它是由演绎法按特定顺序排列而成，而且排列顺序比元素本身更为重要。如果我对这个顺序产生某种感觉，或称直觉，只需要一眼就能感知到推理的整体，那么我不会担心我忘记其中的一个元素，因为每个元素都是特定方式放置在这个阵列中的，而不需要我用记忆去牢记。
我们知道，这种感觉，这种数学顺序的直觉，带给我们隐含的和谐和关系的神圣感，并不能被每个人所掌握。有些人既缺乏这种难以被定义的精妙感觉，又缺乏超乎常人的记忆和专注的程度，以至完全不能把握高等数学。大多数人都是如此。有些人会产生少许这类感觉，但他们天生拥有与众不同的记忆力和注意力。他们会记住一个接一个的细节，他们能够理解数学，并且作出应用，但他们不能创造。其他人，最终或多或少地能够掌握一些这种直觉，这样他们不知能够理解数学，并且即使他们的记忆力并不超凡，也能变成创造者，并伴随着这种直觉的多少，获得相应程度的成功。
现在可以挖掘得更深一些，来看看数学家的灵魂深处是什么了。我相信，我可以通过回忆自己的经历来进行充分说明。
我挣扎了15天来证明不可能存在像后来我称之为Fuchsian函数那样的函数。当时我一无所知；每天我坐在书案前，工作一到两个小时，尝试大量的组合却一无所获。一个晚上，和我平日的习惯不同，我喝了黑咖啡，没有睡觉。大量的思绪汹涌，我感到它们相互碰撞直到契合，也就是说，慢慢地稳定下来。第二天早上之前，我已经建立好一类Fuchsian函数的存在性证明，这些函数来自于超几何序列；我只需要把结果写下来即可，前后花了不过几个小时。
后来我想用两个序列的商来表达这些函数；想法很清晰而且经过深思熟虑，因为椭圆方程的相似性指引着我。我问自己，如果这些序列存在，它们会有怎样的属性，并且我毫无困难地成功构建了这些序列，后来我称之为theta-Fuchsian。
就是这时期，我离开了卡昂，这个我生活的地方，受我所在学院的资助进行一次旅行。旅途上的经历让我暂且忘记了数学工作。到达古特昂司后，我们上了一辆公共马车以去到另外的什么地方。突然，当我刚登上马车阶梯的刹那，一个想法来临，之前没有任何想法为之做准备，即我用来定义Fuchsian函数的变换实际上与非欧几何中的是等价的。我没有去证明这个想法；我几乎没有时间，因为一上马车我就参与了另一场已经开始的谈话，但我对自己的想法确信无疑。回到卡昂以后，我在良心催促下利用空余时间完成了证明。
回到卡昂，我对此结果进行思考，并得到了一些结论。二次型的例子表明存在Fuchsian群而无须使用超几何序列的方法；我意识到可以对此应用theta-Fuchsian序列的理论，并得出Fuchsian方程而无须引入超几何序列。很自然地，我着手构建这些方程。我系统性地研究他们并且得到一个接一个的结论。然而，有一个问题迟迟不能解决，并且结果很可能影响到全局。因此我的努力一开始似乎效果很好，却只是引入了更加困难的问题。这些工作都是在我有意识的状态下完成的。
后来我去了瓦勒里昂山服兵役；因此我忙着完全不相干的事情。有一天，正沿街走着，难题的解突然出现在我面前。我当时并没有立即深入，直到服完兵役，我才重新拾起该问题。我有了所有的元素，只需要重新安置它们即可、因此我一次性就写完了最后的论文集，没有遇到任何困难。我只用这一个例子，因为多说无益。
一开始，最令人震惊的是福至心灵的瞬间，反映了长时间、无意识的预备工作。数学创造中，无意识工作的重要性对我而言是无可争议的，并且可以在其他例子中，无意识工作不那么明显的情况下找到它的痕迹。通常，一个人思考困难问题时，最初的工作不会带来太好的结果。休息一会儿，或者更长时间，然后重新坐下来工作。在开始半小时，像以前一样，没什么发现，然而突然决定性的想法呈现在思想面前。
关于无意识工作的条件还有另一个说法：它是可能的，并且某种程度上富有成效，仅当之前和之后都进行了长期有意识的工作。这些突然的灵感（之前的例子已经表明了）发生，仅当之前大量的努力失败，并且没有好的结果发生，而采取的方法又是不确定的。这些努力并不像我们认为的毫无作用；它们启动了无意识的机器，否则这架机器永远不会运转起来，也不会有所成就。
可以确定的是，在潜意识进行一段时间的工作后，就会产生灵光一现的想法，并且通常是相当有用的结论组合，就像是第一印象得出的结论。这是由于潜意识的自我产生的微妙直觉，判断出哪些组合是有用的，因此只采用了这些组合吗？还是同样产生了很多其他组合，而由于其无用性而停留在潜意识中？
也许我们应当到早期的有意识的工作中寻求答案，以往所有的无意识工作都必须由有意识的先行。
最后我还要做出一些说明：上面这些我个人作出的观察中，描述的是我个人工作的感受。这种事例是很常见的，因此不需要考虑我之前提到的大脑产生某种不同寻常的兴奋。似乎在这些事例中，一个人面对他的无意识工作，部分感受到他自己过度兴奋的意识，却没有改变这种意识的本质。我们可以大概理解这两种工作机制的区别，或者说，两种自我不同的工作方法。我所做出的心理学观察似乎证实了之前我所给出的观点。
这种观点还有待确认，因为它们仍然停留在高度假说的程度；但这个问题如此有趣，以至于这里我毫不犹豫，要将它们提供给我的听众们。
