最大熵和概率分布

2020-01-16  本文已影响0人  springzzj

概率论

我们需要描述一组数据时候,本质上需要描述每一个点。但是如果我们可以用分布去表示这些数据,就只需要均值或者方差分布参数,大大节省了存储空间。

离散型随机分布

伯努利分布:一次实验,结果只有两种结果。p(k)=p^k(1-p)^{(1-k)}, k\in\{0, 1\} ,期望:p,方差:p(1-p)

二项分布:n次伯努利实验正好得到k次成功的概率,单次成功的概率为p。当n=1的时候退化到伯努利分布。当p=0.5的时候,整体上和正态分布图形类似。p(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},期望:np,方差:np(1-p)

几何分布:进行n次伯努利实验,在获取成功前需要进行多少次实验。分布图形是越往前概率越大,p(k)=(1-p)^{k-1}p, 期望\frac{1}{p}, 方差是\frac{(1-p)}{p^k}

泊松分布:单位时间内独立事件发生次数的概率分布,它是二项分布n很大而p很小时的极限。泊松分布可以把单位时间切成n次,每次成功的概率为p,那么单位时间内出现k次的概率就是二项分布,所以泊松分布是二项分布的一种极限形式。它的分布图形也和二项分布类似,特别是n很大而p很小时。p(k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}, 期望和方差都是\lambda,其中k是发生的次数,\lambda是发生的平均次数,当\lambda>=20时,泊松分布趋向于正态分布。

指数分布:对应于泊松分布,指数分布是指两次独立事件发生的时间间隔的概率分布。
p(k)=\lambda e^{-\lambda k},其中\lambda是指单位时间内独立事件发生的次数。期望=\frac{1}{\lambda},方差=\frac{1}{\lambda^2}

负二项分布:在一连串伯努利实验中,恰好在第r+k次实验出现第r次成功的概率。换句话说,是指出现第r次成功时所需要的总实验次数的概率分布。
p(k,r,p)=C_{r+k-1}^{r-1}p^{r}(1-p)^{k},期望E(k)=\frac{k(1-p)}{p}, 方差D(k)=\frac{k(1-p)}{p^2}

多项分布:二项分布的扩展。

连续型随机分布

均匀分布:p(x)=\frac{1}{b-a},期望\frac{b+a}{2}, 方差\frac{(b-a)^2}{12}

正态分布:p(x)=N(\mu, \sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},期望\mu,方差\sigma

指数分布:可以扩展到连续随机变量,仍然代表两次独立事件发生的事件间隔(实数)。公式和上面一致。

最大熵

那么以上的概率分布是如何来的呢?最大熵理论提供了一种解释的方法,概率分布是满足一定约束条件下的最大熵概率分布。对于一个随机变量来说,如果没有任何约束,我们大概率倾向于该随机变量符合均匀分布。对应到现实中,如果没有任何前提条件,我们认为事件发生的概率是相同的。比如骰子,我们会默认每一面的概率是1/6。最大熵概率分布满足一下条件:
math max_pH(p)=-\int_yp(y)logp(y)dy, st. \int_yp(y)=1, p(y)>=0, \int_yp(y)*f_i(y)dy=a_i
其中ai是预先定好的约束条件,比如均值、方差。 使用拉格朗日乘子得到:

math L(p,\mu,\lambda)=\int_yp(y)logp(y)dy - \mu_0p(y) + \mu_1(\int_yp(y)-1) + \sum_i\lambda_i(\int_yp(y)*f_i(y)dy-a_i)
其中\mu,\lambda都为正数,解为:
math p^* = min_p max_{\mu,\lambda}L=max_{\mu,\lambda}min_pL
假设y值固定在某个确定的值,对p求偏导:
math \frac{\partial L}{\partial p} = logp + \frac{1}{ln2}-\mu_0 + \mu_1 + \sum_i\lambda_if_i(y) = 0
等式两边乘以ln2,对logp进行换底:

math lnp + 1 - \mu_0 + \mu_1 + \sum_i\lambda_if_i(y) = 0
得到解p*:
math p^*(y) = e^{ - 1 + \mu_0 - \mu_1 - \sum_i\lambda_if_i(y)} = c*e^{-\sum_i\lambda_if_i(y)}

伯努利分布推导

约束条件:
math f(y) = y\rightarrow\int_yp(y)*y=\mu, y\in\{0,1\}
其中\mu代表事件成功的概率,也是伯努利分布的期望值,得到c*e^{-\lambda}=\mu
同时:p(0) + p(1) = 1 \rightarrow c + ce^{-\lambda}=1
由以上两式得到:c=1-\mu, \lambda=-ln\frac{\mu}{1-\mu}
综合以上:p(y)=(1-\mu)*(\frac{\mu}{1-\mu})^y=(1-\mu)^{1-y}\mu^y, 我们就得到了伯努利分布的公式,伯努利分布是在约束期望值下的最大熵概率分布。

正态分布推导

约束条件:均值和方差

其他分布的约束条件
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其他概念

概率分布函数,条件概率,联合概率, 独立分布,条件独立,熵, 交
叉熵、条件熵、KL散度

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