MIT 线性代数 8.求解Ax=b 可解性和解的结构

2022-05-25 本文已影响0人光能蜗牛

Ax=b有解的条件

求解 $Ax=b$

由前面的知识我们知道
$Ax=b$ 有解会满足的条件：

1.b向量刚好在A的列空间,即b可以由A的各列进行线性组合得到
2.A矩阵的更行的线性组合能得到零行，那么向量b的各行经过同样的线性组合应该也能得到零行

求解 $Ax=b$ 的具体的算法

1.简化阶梯型矩阵自由列对应的自由变量全部取 $0$ ，然后分别求出主元变量的取值，这样的主元变量和自由变量取值构成的解称为 $Ax=b$ 的一个特解
2.求出 $Ax=0$ 的零空间
3.将特解和零空间解合起来，就是所有的 $Ax=b$ 的解

这里给出一个具体的例子
我们把第七讲中矩阵拿过来并把右侧向量改为 $b$
$Ax=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x1\\x2\\x3\\x4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\5\\6\end{bmatrix}$
消元后得到
$Ux=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\0&0&2&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x1\\x2\\x3\\x4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\3\\0\end{bmatrix}$
根据算法，
第一步：我们首先找到矩阵U的自由列是第二列和第四列，于是我们知道自由变量是 $x2和x4$ ，所以我们让 $x2和x4为0$ ,通过回代我们求出 $x3=3/2，x1=-2$
因此其特解为 $x_p=\begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix}$
第二步：求出Ax的零空间，这一步骤我们在求解Ax=0的时候其实已经有了答案，这里我们直接抄写过来 $X_{nullspace}=c\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}$
第三步：完整的解为特解加上零空间解
于是有 $X_{complete}=\begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}$ ,这个解如果画出图，是一个四维空间的二维平面经过平移 $\begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix}$ 得到的一个新的平面，注意这个新的平面不是某种向量空间，因为它不经过原点。

思考:这里要稍微提一下为什么上面的解是合理的?

比如我们求 $Ax=b$ 的特解为 $v$ ，于是为 $Av=b$
同时我们求出 $Ax=0$ 的零空间解为 $w$ ，于是 $Aw=0;$
显然 $Av+Aw=b+0$
整理到一起就是 $A(v+w)=b$ ,因此零空间加上特解就是最终的完整解

思考:为什么特解求解方式是让自由变量为0

如果我们让自由变量取其他值，比如说全部设置为1，
即 $x2=x4=1$ ,那么我们可以求出 $x3=-1/2,x1=-2$
$x_p=\begin{bmatrix}-2\\1\\-1/2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}$ ，也就是说这个特解其实还是等同于上面的自由变量为0的时候特解加上其中一个零空间解，即本质上是一样的，所以让自由变量取零算起来还方便一点