高等代数理论基础54：\lambda-矩阵

2019-04-03 本文已影响3人溺于恐

$\lambda$ -矩阵

$\lambda$ -矩阵

给定数域P, $\lambda$ 是一个文字,作多项式环 $P[\lambda]$ ,若一个矩阵的元素是 $P[\lambda]$ 的元素,则称为 $\lambda$ -矩阵,用 $A(\lambda),B(\lambda),\cdots$ 表示

注：

1.数域P中的数也是 $P[\lambda]$ 的元素,故 $\lambda$ -矩阵也包括以数为元素的矩阵,称为数字矩阵

2. $\lambda$ -矩阵与数字矩阵的运算有相同的运算规律

3. $\lambda$ -矩阵的行列式是 $\lambda$ 的一个多项式,与数字矩阵的行列式有相同的性质

秩

定义：若 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 中有一个 $r(r\ge 1)$ 级子式不为零,而所有r+1级子式(若存在)全为零,则称 $A(\lambda)$ 的秩为r

规定零矩阵的秩为零

可逆

定义：对 $n\times n$ 的 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ ,若存在 $n\times n$ 的 $\lambda$ -矩阵 $B(\lambda)$ 使 $A(\lambda)B(\lambda)=B(\lambda)A(\lambda)=E$ ,则称 $A(\lambda)$ 可逆,且 $B(\lambda)$ (唯一)称为 $A(\lambda)$ 的逆矩阵,记作 $A^{-1}(\lambda)$

定理：一个 $n\times n$ 的 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 可逆的充要条件为 $|A(\lambda)|\neq 0$

证明：

$充分性$

$设d=|A(\lambda)|为一个非零的数$

$A^*(\lambda)是A(\lambda)的伴随矩阵,也为一个\lambda-矩阵$

$A(\lambda){1\over d}A^*(\lambda)={1\over d}A^*(\lambda)A(\lambda)=E$

$\therefore A(\lambda)可逆$

$必要性$

$若A(\lambda)可逆$

$两边取行列式可得$

$|A(\lambda)||B(\lambda)|=|E|=1$

$\because |A(\lambda)|与|B(\lambda)|都是\lambda的多项式$

$\therefore 由乘积为1可知$

$它们都是零次多项式,即非零的数\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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