有心力问题（13）：三体问题

2020-02-04 本文已影响0人有限与微小的面包

前面我花了九章才基本总结清楚如何将有心力问题转化为若干个运动积分，并讨论了在一些为数不多的有解情况下，（约化一体开普勒问题的平方反比力场）微粒的轨道类型及其封闭性的判定条件（伯特兰定理）。值得再次强调的是，对于绝大多数其他类型的有心力场，运动方程都是不存在解析解的。如果这时再在系统中添加一个质量，构成三体系统，情况将会变得更加复杂。在三体情况下，即便对于最简单的平方反比力场，开普勒型问题都是没有通解的。本篇则是有心力问题的最后一个问题。作为结尾，将不涉及冗长的数学计算，定性地分析一些简单的例子和历史上存在的一些特殊解。

$\bullet$ 牛顿万有引力场的三体系统包含了三个质量： $m_1$ ， $m_2$ 和 $m_3$ 。为了简便，我们再次使用质心参考系，并分别引入位矢（相对质心 $\mathbf{R}$ ） $\mathbf{r}_1$ ， $\mathbf{r}_2$ 和 $\mathbf{r}_3$ 。

三个质点的运动方程均可根据牛顿第二定律简单得到：

$m_1\ddot{\mathbf{r}}_1 = -Gm_1m_2\frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2}{||\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2||^3} - Gm_1m_3 \frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_3}{||\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_3 ||^3}$

$m_2\ddot{\mathbf{r}}_2 = Gm_1m_2\frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2}{||\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2||^3} - Gm_2m_3 \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_3}{||\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_3 ||^3}$

$m_3\ddot{\mathbf{r}}_3 = Gm_1m_3\frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_3 }{||\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_3||^3} + Gm_2m_3 \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_3}{||\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_3 ||^3}$

为了书写简便，引入相对位矢 $\mathbf{s}$ 的定义： $\mathbf{s}_i = \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k$ ：

$\mathbf{s}_1 = \mathbf{r}_3 - \mathbf{r}_2$ ； $\mathbf{s}_2 = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_3$ ； $\mathbf{s}_3 = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1$

很明显， $\mathbf{s}_1 + \mathbf{s}_2 + \mathbf{s}_3 = \mathbf{0}$

于是，

$\begin{align*}\ddot{\mathbf{s}}_2 &= \ddot{\mathbf{r}}_1 - \ddot{\mathbf{r}}_2\\&= Gm_2\frac{\mathbf{s}_2}{s_3^3 } - Gm_3\frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3 } - Gm_1\frac{\mathbf{s}_2}{s_3^3 } + Gm_2\frac{\mathbf{s}_1}{s_1^3 } - \left(Gm_1\frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3 } + Gm_2\frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3 } + Gm_3\frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3}\right)\\&\quad +Gm_2\frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3 } + Gm_2\frac{\mathbf{s}_3}{s_3^3 } + Gm_2\frac{\mathbf{s}_1}{s_1^3 }\\&= -G(m_1 + m_2 + m_3)\frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3} + Gm_2\left(\frac{\mathbf{s}_1}{s_1^3} + \frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3} + \frac{\mathbf{s}_3}{s_3^3}\right)\\&= -mG\frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3} + m_2\mathbf{G} \end{align*}$

其中 $m = \sum_i^3 m_i$ ， $\mathbf{G} = G\sum_i^3 \frac{\mathbf{s}_i}{s_i^3}$ 。

同理，

$\ddot{\mathbf{s}}_1 = -mG\frac{\mathbf{s}_1}{s_1^3} + m_1\mathbf{G}$

$\ddot{\mathbf{s}}_3 = -mG\frac{\mathbf{s}_3}{s_3^3} + m_3\mathbf{G}$

三体系统质点的运动方程可使用如下的对称表示：

$\boxed{\ddot{\mathbf{s}}_i = -mG\frac{\mathbf{s}_i}{s_i^3} + m_i\mathbf{G}, \quad i = 1,2,3}$

这三个耦合方程没有一般解。

$\bullet$ 在历史上，数学家欧拉曾找出一个能量为负的封闭轨道解，

如图，该特殊解的质点 $m_2$ 总是位于质点 $m_1$ 和 $m_3$ 的连线上，所有矢量 $\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3, \mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2, \mathbf{s}_3,\mathbf{G}$ 均是共线的，并且 $m_1< m_2<m_3$ 。三质点在不同的封闭轨道上以相同的周期 $\tau$ 绕转着一个共同的焦点。在一个周期内，三个质点会出现一次近心位形（三体同时位于各自轨道的近心点）和一次远心位形（三体同时位于各自轨道的远心点）。

$\bullet$ 如果矢量 $\mathbf{G} = \mathbf{0}$ ，运动方程将会变为去耦形式：

$\ddot{\mathbf{s}}_i = -mG\frac{\mathbf{s}_i}{s_i^3}$

我们得到了二体开普勒问题的运动方程。

由于 $\mathbf{G} = \mathbf{0}$ ，有 $G\left(\frac{\mathbf{s}_1}{s_1^3} + \frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3} + \frac{\mathbf{s}_3}{s_3^3}\right) = \mathbf{0}$ ，

三个质点的相对位矢必然构成一个等边三角形，三个质点将位于等边三角形的顶点，绕着同一个焦点分别在三个共平面的椭圆轨道上运动。在质点运动的过程中，如果方程始终保持着去耦状态，相对矢量也将始终保持等边三角形的关系，尽管三角形的大小的方向可能会随时变化。

质量

m_1 < m_2 < m_3

的拉格朗日椭圆解。可见，无论是在近心位形还是远心位形，三点始终可以形成一个等边三角形。

$\bullet$ 三体问题的各种渐近解也已被前人找出。比如，当三个质点的能量均为正数时，它们将远离彼此；或者其中一个带着最大能量逃逸，另外两个以椭圆轨道绕转共同的质心。如果三质点的能量都为负数，第一种情况是上面提到的三体封闭轨道，第二种则是一个逃逸，另外两个呈封闭轨道的情况。

$\bullet$ 在限制性三体问题(restricted three-body problem)中，通常有两个质量较大，相互约束的质点；第三个质点的质量则较小，对前两者运动的微扰可以因此忽略。比如地-月-卫星系，或者日-地-月系。对于前者，地球与月亮沿着各自未被微扰的轨道运动，卫星则通过平方反比力与二者产生相互作用。

限制性三体问题的一个最复杂的因素则是其引力势在地-月系附近的分布。由于万有引力与距离呈反比，与质量呈正比，所以在靠近地球附近，合力应该指向地球；而在靠近月球附近，合力应该指向月球。

考虑一个质心系的二体系统（为了方便，仅仅考虑圆轨道）。现在我们需要将第三个检验质量放入系统的某个位置形成三体系统，使其能在前两者的万有引力影响下，依然保持静止。

在质心系，检验质量的拉格朗日函数很好得到：

$\mathscr{L} = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r,\theta,t)$

由于两个较大质量的存在，其中的势函数必然显含时间。

对于由两个较大质量组成的二体系统，因为是圆轨道，它们之间的径矢 $\mathbf{r}$ 会始终具有同样的长度，方向按一个恒定的角频率 $\omega$ 时刻改变着。如果我们选择一个具有相同角频率 $\omega$ 的旋转参考系 $S^{\prime}$ ，惯性系 $S$ 与旋转参考系 $S^{\prime}$ 之间的坐标变换为：

$\theta^{\prime} = \theta + \omega t$

使用柱坐标 $(\rho,\theta,z)$ 在 $S^{\prime}$ 下系统的拉格朗日函数可以写为：

$\mathscr{L} = \frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2 + \rho^2(\dot{\theta}^{\prime}- \omega)^2 + \dot{z}^2) - V^{\prime}(\rho,\theta,z)$

或者，将平方项展开：

$\mathscr{L} = \frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2 + \rho^2\dot{\theta}^{\prime2} + \dot{z}^2) - \left(m\omega \rho^2 \dot{\theta}^{\prime} - \frac{1}{2}m\rho^2\omega^2 + V^{\prime}(\rho,\theta,z)\right)$

第四和第五项分别是科里奥利效应和离心效应。

接下来要做的就是写出三体的拉格朗日方程，然后寻找使得 $\dot{\rho} = \dot{z} = \dot{\theta} = 0$ 的点。这样的点一共有五个。欧拉于1767年计算出前三个，拉格朗日又于1772年证明出剩下两个，我们把这些点统称为拉格朗日点(Lagrange points)。

图一：拉格朗日点以及质点周围势函数的分布情况

图二：五个拉格朗日点

图一，位于质点的连线上的点 $L_2$ 处受到来自双方的引力刚好等大反向，它是势函数在连线方向的一个局部最小点（实际是一个鞍点）。 $L_1$ 和 $L_3$ 则是检测质量单独绕转地球或者月球和同时绕转二者的轨道过渡点，它们也是鞍点。

位于两侧并与其他拉格朗日点不共线的是点 $L_4$ 和 $L_5$ ，由于它们位于以两质点连线为底的等边三角形的第三个顶点，所以有时又被称为“三角拉格朗日点”。它们是势函数的局部最小点，位于这两点附近的检验质量会受到指向这两点的吸引力，从而始终保持封闭的椭圆轨道。

这些点的稳定性则可用摄动法来检验。其中只有位于两侧的非共线点 $L_4$ 和 $L_5$ 是稳定的。

（更多关于这五个拉格朗日点的介绍可以在百科上找到，我就不再赘述了。）

有心力问题（13）：三体问题

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