笔记--李乔：漫谈桥梁次内力
1、序言
敬业艰辛为筑桥，千寻百算昼连宵。
分明主次求真力，唤起春风沐李桃。
今天说到桥梁结构次内力，突发感慨，弄了首绝句，自我鼓励一番。
言归正传。次内力计算是桥梁结构设计中的重要内容，关于它的计算方法，很多桥梁教科书里面都有介绍，大家可能也比较熟悉，但对于次内力的产生机理和它们的分布规律是否也比较了解呢？能否不经过计算就能很快地判断出次内力的大致分布规律？
在不同的专业领域，次内力可能有不同的定义。桥梁结构中常见的次内力包括温度引起的次内力、混凝土收缩和徐变引起的次内力、预应力引起的次内力、支座不均匀沉降引起的次内力以及焊接引起的次内力（由焊接残余应力合成，可以归类为温度引起的次内力）等。虽然称为次内力，但它们并不是不重要的。这里的“次”（英文secondary）有两种涵义，一是“次生”或“二次”的意思，二是“次要”、“第二”的意思，都是相对于外荷载直接引起的内力（此处暂且称为“主内力”）而言。在实际桥梁结构中，这些次内力的数值与主内力属于同一量级，有时候甚至比主内力还要大。比如当预应力钢束配置较多时，预应力引起的次内力可能会比预应力的主内力（也称初内力）还要大。这时如果受拉验算通不过，按常理应该增加预应力钢束数量，但你会发现越是增加预应力钢束数目，受拉越是严重，反而是减少预应力钢束并调整布置方式后能够通过验算了。
由此可见，次内力对结构受力有着非常重要的影响，绝对不可轻视。本文不打算赘述次内力的具体计算方法，而是想谈谈它们产生的机理和分布规律。
2、桥梁结构次内力的特征
经常和桥梁结构次内力打交道，但想过什么是次内力吗？仔细分析并总结一下前面提到的那些种类的次内力，会发现它们有三个共同的特点：
（1）都是由于某种原因引起结构的变形且该变形受到约束，从而引起结构内力发生变化；
（2）这种内力变化不是由外荷载（外力）直接引起的，因此结构次内力是自相平衡的。也就是说，结构受到的总外力没有变，只是内力发生了重分布；
（3）结构最终状态一定是超静定的，包括外部超静定和内部超静定。
在前述的各种桥梁结构次内力中，温度引起的次内力、混凝土收缩和徐变引起的次内力以及支座不均匀沉降引起的次内力等都较为明显地不是外荷载引起的，而对于预应力引起的次内力，稍有些复杂，在表面上看似乎是荷载直接引起的，其实不然。
首先，看看预应力引起结构内力的过程，为了简单，以轴心配筋的先张法预应力杆件为例（见图1a），其他类型预应力混凝土构件原理与此类似。如图1b所示，在杆件的混凝土达到预定强度后，切断锚固于台座上的被拉长了的预应力钢束，于是钢束产生回缩变形，试图回到其不受力时的长度。但由于钢束与混凝土杆件已经粘结在一起，形成了一个由两种材料构成的“组合体系”，这是一个内部超静定体系。因此混凝土杆件会约束钢束的回缩变形，从而使混凝土杆件受到压力。如果采用后张法，也是类似的情况。不同的是张拉预应力钢束时，千斤顶在拉钢束的同时，还对混凝土杆件施加压力而使其变短。当锚固完成并撤掉千斤顶的力以后，钢束情况跟先张法类似，试图回缩变形，而混凝土杆件则试图伸长变形，由于二者已经锚固在一起，所以互相约束对方的变形，最后达到稳定平衡状态。从这里可以看出，预应力最终引起的构件内力是由于变形受到约束产生的，不是外荷载直接产生的，因为外荷载（千斤顶的作用力）在钢束锚固后就已经撤掉了。这与装配应力问题十分类似，所以才会在李乔说桥3中把预应力归类于装配问题。
图1轴心配筋先张法预应力混凝土
其次，桥梁工程中所说的预应力引起的次内力跟其他次内力有一些区别，并不是指预应力引起的总内力，而是把该总内力划分为初内力和次内力两部分，其中假定预应力钢束所作用的混凝土构件分离体不受构件以外的约束，此情况下预应力引起的内力称为初内力，而由于构件变形受到结构其它部分或支座的约束而产生的那部分内力变化量称为次内力。这是相对严谨的定义，听起来似乎有点费解。我们可以再说得通俗一点儿：如图1b所示，假定在一个不受任何约束且不受任何荷载的混凝土构件上实施预应力（注意，这里的不受约束指的是混凝土构件，不是预应力钢束和混凝土构件结合形成的“组合体系”。如前所述，后者是一个内部超静定体系，钢束和混凝土构件之间相互约束），由预应力引起的混凝土构件上的内力Np0（弯矩Mp0=0）就是初内力。如果该构件是一个超静定结构中的构件（如图2a中上横梁），那么当同样大小的预应力施加在处于超静定结构中的构件上时，该构件的缩短变形受到了结构其他部分的约束，从而在该构件和结构的其他部分都引起了内力（图2b~d）。对于该构件，此时的总轴力Np1减去前述自由状态（图1b）的初内力Np0就是次内力中的轴力Np2，即Np2=Np1-Np0，类似地，次内力中的弯矩Mp2=Mp1-Mp0=Mp1。对于其他构件，由于没有初内力，所以此时的总内力就是次内力。
图2超静定结构上张拉预应力（其中的内力图是结构的总内力）
3、温度变化引起的桥梁结构次内力
温度变化会引起材料的膨胀或收缩，对于杆系结构，主要表现为杆件长度和曲率的变化，垂直于杆轴方向的尺寸变化，除特殊情况外，一般对结构影响很小，可以忽略不计。对于静定结构，由于温度变化引起的变形能够自由发展而不受约束，所以不会引起次内力。而对于超静定结构，会对这种变形产生约束，因此就会引起内力，即温度次内力。好比你站在一个刚好和身体高度一样高的空间里，假定空间本身的尺度不会随着温度变化，但你的身体却会热胀冷缩。当温度升高时，你的身体因为膨胀变高，但空间高度没有变化，所以你就会觉得头上受了到压力，相当于次内力；反之当温度再度降低时，你就会感到松快了。
至于一个结构是静定的还是超静定的，虽然在结构力学中已经定义并讲述过，但这里要指出的是，判断超静定与否不但与结构本身的构造和支承条件有关，还与所受的荷载及所要求解的力学要素（内力、位移或应力、应变）有关。如果所要求解的要素能够直接利用平衡方程求得，结构就是静定的，否则就是超静定的。例如，一个等截面连续梁，只有一个固定铰支座，其余都是活动铰支座。那么当你要求解其在竖向荷载作用下的内力时，它是超静定结构。但当你要求解它在轴向荷载作用下的内力时，只需要根据平衡关系就可以得到解答，因而它是静定结构。
下面讨论一下连续梁和连续刚构桥的温度次内力产生的机理和分布规律。图3所示的预应力混凝土连续梁桥，一般是设一个固定铰支座和三个活动铰支座，固定铰支座一般设在中间墩上。当温度均匀升高时，梁的长度变长，因而会发生纵向位移。但因纵向只有一个固定铰支座，故纵向位移不受约束，梁以固定铰支座处为不动点，向两边自由伸长。因此该桥梁结构不产生次内力。如上所述，仅就此工况而言结构为静定的。
图3连续梁桥（引自筑龙网）
对如图4a所示的等截面连续梁桥，当发生沿着梁截面高度方向非均匀变化的温度场时，例如梁顶温度升高t1度，梁底升高t2度，且t1>t2。二者之间按直线规律变化。此时梁的顶面纵向伸长量大于底面，因此梁会产生向上的弯曲（拱起）变形。为了分析其次内力的分布规律，首先假设去掉两个中间支座B和C，使其变为一个简支梁作为基本结构（图4a）。在温度场作用下，梁向上拱起，在中间支座B和C位置，梁底脱离支座的距离为Δ。根据变形协调条件，梁在支座B和C处必须呆在原来的位置，所以必然会在此二支座处产生向下的支座反力RB=RC来拉住梁不使其向上移动。再由竖向平衡条件和对称性可知，在边支座处一定存在向上的支座反力RA=RD=-RB=-RC。如图4b所示，在这些支座反力（温度变化引起的次反力）作用下，梁的弯矩图（温度变化引起的次内力）规律为，在支座A处MA=0，在支座B处MB=+RAL1，根据对称性，MC=MB，MD=MA=0。由于各支座之间没有荷载作用，所以弯矩按直线规律变化。于是在没有进行任何具体计算的情况下，我们就得到了温度次弯矩的分布规律。当然也可以依此得到次剪力图（略）。
图4连续梁温度变化引起的次内力
如果图4所示的结构在支座B和C处与桥墩固结，就变成了连续刚构桥，如图5a所示。这时由于桥墩对梁的纵向位移会产生约束，所以即使在梁发生均匀温度升高的情况下（为说明简单，以升温为例，且假设桥墩温度不变），梁和墩内也会产生次内力。图5a中虚线为结构变形情况。由于中跨梁的伸长受到桥墩约束，因此会在中跨梁内引起轴向次内力（压力），且沿纵向均匀分布。桥墩受到梁轴力的反作用力，即向外侧的推力，所以会产生剪力和弯矩。在墩的底部，弯矩方向为内侧受拉，在顶部由于与梁刚性连接，所以当连接点向外侧移动时，产生外侧受拉的弯矩。同时，当墩顶向外侧弯曲侧移时，边跨梁跟着向左下方向转动，但边支座限制了梁的转动下移，因此边跨梁内产生线性分布的正弯矩。最后得到结构次弯矩图如图5b所示。次轴力和次剪力类似，此处略。
图5连续刚构温度变化引起的次内力
4、混凝土收缩、徐变引起的桥梁结构次内力
混凝土收缩使构件尺寸变短，这与温度降低产生的变形特征相同，因此其引起的次内力跟温度降低引起的次内力规律也基本相同，二者唯一的区别是，收缩变形随着时间推移而逐渐增长。所以这里不详细讨论收缩引起的次内力。
混凝土徐变跟温度变化也有类似之处，都是引起材料的变形，但同时也有明显的区别，徐变变形要在混凝土受力的情况下才会发生，而温度变形则不需要受力就能发生。混凝土徐变还有一个特点，就是其变形跟受力变形（弹性变形）具有相同的趋势，包括变形的大小和方向。现在采用最为广泛的线性徐变理论就是假定徐变变形(如徐变应变εc)与弹性变形(如弹性应变εe)成正比，二者的比例系数就是徐变系数φ，即：φ=εc/εe。徐变的另一个特点是其时间相关性，它随着时间的推移而不断增长，最长可持续几十年。
了解了混凝土徐变的上述特点以后，就可以分析由它引起的桥梁结构次内力的机理和规律了。仍然以混凝土连续梁桥为例进行说明，并假定该桥采用悬臂浇筑施工方法，忽略桥墩的徐变（实际上桥墩会由于徐变而发生缩短的）。该梁是预应力混凝土连续梁，本节只分析自重作用下的徐变次内力，对于预应力的徐变次内力，将在下个小节讨论。
该桥施工过程中的几个关键状态如图6所示，其中图6a为边跨即将合龙的状态（最大双悬臂阶段，为简单，假定无边跨现浇段），图6b为中跨即将合龙的状态（最大单悬臂阶段），图6c为合龙后的状态（成桥阶段）。
图6 连续梁混凝土徐变引起的次内力
在边跨合龙前的最大双悬臂阶段（图6a），在自重作用下，结构弹性变形为两悬臂均从其初始安装线形向下发生挠曲，因此其在以后的很长时间内，假如没有约束，徐变变形也会按照这样的趋势（向下挠曲）发展（图6a）。
当边跨合龙后（图6b），左边跨的徐变变形（向下挠曲）受到了边支座A的限制，若中支座B此时已经解除了施工临时固结而可以转动，则结构就仍然可以自由变形。徐变变形发生过程中，因边跨端点A不能继续下挠，梁就会绕中支座发生顺时针方向的刚体转动，把边跨的徐变变形转移到中跨。而结构由于没有受到约束，所以不会产生次内力。如果此时支座B处的施工临时固结没有拆除，梁就不能自由转动，因而会产生次内力。不过由于这个状态持续时间不长，徐变变形不大，而且临时固结也并非完全刚性，因此产生的次内力并不大。结构右半边的情况与左半边完全类似，不赘述。
在中跨合龙后（图6c），结构的徐变变形仍试图按照双悬臂阶段的趋势（图6a）发展，但此时结构已经成为超静定结构，梁的下挠受到约束。如上所述，边支座处不允许下挠，且中跨已经合龙，下挠受到约束，这种对变形的限制势必引起内力变化，即产生了次内力。由于是向下挠曲受到约束，所以引起梁的次弯矩一定是下侧受拉、上侧受压，即正弯矩。
由于边支座约束梁下挠，所以会产生向上的约束反力（压力增量），即次反力RA和RD，再由竖向平衡条件可知，中支座必然产生向下的次反力（拉力增量）RB和RC。根据次反力，就可以画出次弯矩图如图6d所示，根据次反力或者次弯矩的斜率（Q=dM/dx），就可以知道次剪力为图6e所示情况。
总结一下上面讨论的情况：结构受力发生弹性变形后，结构体系发生了变化，由静定体系变成了超静定体系，试图按照原静定体系规律继续发展的徐变变形受到了超静定体系的约束，因此在结构内引起了内力变化，即徐变次内力。
这里有一个重要的因素，即体系变化，或者称为体系转换，由静定体系转换为超静定体系，或者由超静定体系转换为更高次超静定体系。如果没有体系转换，即使是超静定结构，混凝土徐变也不会引起次内力。因为在同一个体系下，不管是静定的还是超静定的，其弹性变形规律和其后的徐变变形规律是一样的，弹性变形是适应该体系的变形，徐变变形也同样是适应该体系的变形，没有受到约束，也就不会引起次内力。
对比图4（说桥6中图）就会发现，对于连续梁，徐变引起的次内力规律跟温度升高引起的次内力规律相似。但必须注意，温度次内力产生的条件是：超静定结构+温度变化；而徐变次内力发生的条件是：超静定结构+受力+体系转换。
5、预应力引起的桥梁结构次内力
预应力相关的次内力有两种，一种是如本文前面（说桥6）所说，在超静定结构上张拉预应力引起的次内力，另一种是在预应力作用下由于混凝土徐变引起的次内力，当然这必须伴随着结构体系转换才能发生。
仍然以连续梁为例来进行说明。如图7a所示，在中跨合龙后的结构上张拉中跨底板直线预应力钢束，不考虑预应力管道摩阻力时，预应力作用可等效为在锚固点处作用一对轴向压力Np。该偏心轴力可以简化为截面形心处的一对轴力Np和一对弯矩Mp=-Npe。如前所述，轴向力在连续梁上不引起次内力，所以只需分析弯矩引起的次内力即可。
类似于温度次内力分析方法，假想解除支座B和C，得到一个简支梁形式的基本结构，它在一对负弯矩Mp作用下，会向上拱起而离开支座B和C（图7a）。而实际梁在支座B和C处必须与支座相连，所以梁的上拱必然受到该二支座的约束（拉住），从而产生向下的次反力。相应地在边支座处产生向上的次反力。于是，我们又得到了熟悉的次弯矩图（图7b）。注意，这个次弯矩图不包括预应力的初弯矩，即基本结构中间一段梁由Mp直接引起的弯矩。
关于预应力作用下的徐变次内力，并不是指由于混凝土徐变造成的预应力损失而引起的内力变化，而是指在体系转换前施加的预应力引起了弹性变形，在体系转换后，这部分弹性变形对应的徐变变形仍然试图按照体系转换前的规律继续发展，但因转换后的超静定体系已经比原来的体系增加了赘余约束，所以变形受到限制，从而引起次内力。
例如，对于采用悬臂浇筑法施工的预应力混凝土连续梁，大部分预应力钢束都是在悬臂施工阶段张拉的顶板束，如图7c所示。在这些预应力的作用下，梁的弹性变形是向上挠曲，与自重变形相反。参照前面自重作用下的徐变次内力分析，不难推论，当梁全部合龙后，预应力作用下的徐变次内力与自重作用下的徐变次内力基本规律相同，只是符号相反而已（图7d），全部为负弯矩。
图7 连续梁预应力次内力
这里有个很有意思的现象，抵抗正弯矩的预应力引起的次内力是正弯矩，抵抗负弯矩的预应力的徐变次内力是负弯矩。所以，有时会出现某符号弯矩太大，截面通不过验算。于是增加抵抗该符号弯矩的预应力束，结果发现越是增加钢束，情况越糟。有人对此觉得不可思议，怀疑自己或者软件计算错误。其实这是遇到了次内力比初内力增长速率快的情况，越增加钢束，总的内力越不利，减少钢束反而有利了。
6、小结
纵观前面介绍的温度变化、混凝土收缩和徐变、预应力等引起的次内力，发现对于连续梁来说，次内力的分布规律都差不多，这又是为什么呢？
这还得从次内力的基本特征说起。本文第2小节（说桥6）中总结了次内力的特征，其中前两个特征是：（1）由于某种原因引起结构的变形受到约束从而引次内力；（2）次内力不是由外荷载直接引起，因此结构次内力是自相平衡的。根据这两个特征，前面分析温度变化、收缩徐变以及预应力引起的次内力的例子中，变形都是对称的，并且变形受到的约束都是由对称的支座提供的，所以产生的次反力也是对称的。再根据次内力自相平衡的特点，求次内力时没有外力直接作用，仅有次反力就可以得到。于是四个支座反力对称布置，只考虑规律不考虑具体数值时，只能有两种情况，即两边支座反力朝上且中间支座反力朝下，或者反之。无论哪种情况，弯矩图肯定是对称的，各跨内直线规律变化，且边支座处为零，也就是上面的各图所示的相似情况。如果结构不对称，或者各种因素引起的变形规律不一致，则引起的次内力规律就会不一致了。
來源：非原创文章，非商业转载，只为传承知识。原文出西南交通大学教授，李乔。
作者简介：李乔，西南交通大学教授，博士生导师，茅以升桥梁研究所所长，在中国公路学会桥梁分会等学术组织任常务理事或理事，在土木工程学报等重要学术期刊任编委会委员或副主任委员。
