13.正弦定理(韦法)

这个定理最早由阿拉伯数学家韦法(940-998)给出，并证明。可见古时候，阿拉伯的数学也很厉害。

正弦定理，一般在给出圆周角定理之后，直接给出证明。

在三角形ABC中，设角A,B,C所对的三边为a,b,c，则

正弦定理的特殊情况

（1）如果三角形有一个角是直角，例如角A，那么定理显然成立，因为这三个比值都是斜边c的长度。这是正弦定理的特殊情况。

（2）如果这个三角形没有直角，则证明如下：

正弦定理的一般情况

作三角形ABC的外接圆，设圆心为O.作直径BC'.
则角C'与角C相等，因为它们是同一段弧所对的圆周角。

根据泰勒斯定理，三角形ABC'是直角三角形。在该三角形中，c/Sin(C')的数值是这个圆的直径。而C'同C是相等的。
所以c/sin(C)等于这个圆的直径。

同理，作其它的直径，可以证明a/Sin(A)等于圆的直径，
b/sin(B)等于圆的直径。

故，设三角形ABC外接圆半径为R，则

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以上证明，使用了泰勒斯定理，圆周角定理，正弦的定义。