分析力学基本原理介绍7.2：哈密顿运动方程（1）

2020-01-07 本文已影响0人有限与微小的面包

哈密顿方程： $\boxed{\dot{q_i} = \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_i};\quad-\dot{p_i} = \frac{\partial\mathscr{H}}{\partial q_i}}$

$\bullet$ 哈密顿方程中的第一组 $\dot{q_i}(q,p,t) = \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_i}$ 将广义速度表示为了关于广义坐标、正则动量以及时间的函数，它与正则动量 $p_i = \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}$ 互为反函数，所以第一个方程组并没有设计任何实质上的新概念。尽管如此，对于大多数问题，哈密顿函数通常已由题目给出，在这种情况下，两组等式均是独立并且具有意义的：第一个等式告诉我们广义速度 $\dot{q}$ 与变量 $q,p,t$ 的依赖关系；第二个等式则告诉我们 $\dot{p}$ 与 $q,p,t$ 的依赖关系。

$\bullet$ 哈密顿方程与能量函数 $h(q,\dot{q},t)$ 均由相同的方式构建。它们具有相同的值。不同之处就在于，能量函数——依然像拉格朗日函数一样——是一个依赖变量 $q,\dot{q},t$ 的函数；而哈密顿函数则是一个关于变量 $q,p,t$ 的函数。所以，依赖关系的不同也会对函数随的变化图像造成影响。

$\bullet$ 一般地，哈密顿函数由拉格朗日函数得来。具体步骤如下：

（1）选定一个符合问题的广义坐标集 $\left\{q_s\right\}$ ，构建拉格朗日函数： $\mathscr{L}(q_i,\dot{q_i},t) = T-V$ 。

（2）写出正则动量，它是关于 $q_i,\dot{q_i},t$ 的函数： $p_i = \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}} =f (q_i,\dot{q_i},t)$ 。

（3）使用勒让德变换，写出哈密顿函数： $\mathscr{H} = \dot{q_i}p_i - \mathscr{L}$ 。（此时的哈密顿函数还是一个依赖 $q,\dot{q},p,t$ 的混合表达式）

（4）利用正则动量的定义，求出 $q_i$ 关于 $p_i$ 的反函数： $\dot{q_i} = f^{-1}(q_i,p_i,t)$ 。（最困难的一步）

（5）将（4）中得到的结果代入哈密顿函数，消去其对广义坐标的依赖关系，得到的哈密顿函数仅依赖变量 $q,p,t$ 。

$\bullet$ 对于许多力学系统，我们其实并不需要遵循上述的每一个步骤就能够得到哈密顿函数。许多步骤会由于力学系统的特殊性质得到简化：

在许多问题中，拉格朗日函数可以被表示成关于广义速度的齐次式的加和：

$\mathscr{L}(q_i,\dot{q_i},t) = \mathscr{L}_0(q_i,t) + \mathscr{L}_1(q_i,t)\dot{q_k} + \mathscr{L}_2(q_i,t)\dot{q_k}\dot{q_m}$

代入哈密顿函数：

$\mathscr{H} = \dot{q_i}p_i - \left[\mathscr{L}_0(q_i,t) + \mathscr{L}_1(q_i,t)\dot{q_k} + \mathscr{L}_2(q_i,t)\dot{q_k}\dot{q_m}\right]$

我们知道，对于广义坐标不显含时间的系统， $\mathscr{L}_1(q_i,t)\dot{q_k} = 0$ ， $\mathscr{L}_2(q_i,t)\dot{q_k}\dot{q_m} = T$ ；对于保守的单演系统， $\mathscr{L}_0(q_i,t) = -V$ 。

所以，当存在一个同时满足上述两个条件的系统时，哈密顿函数便自动成为了总能量： $\mathscr{H} = T+V = E$ 。

这样一来，步骤中的（3），（4）均可被省略。

$\bullet$ 对于更广的一类问题， $\mathscr{L}_2$ 通常是广义速度的二次函数， $\mathscr{L}_1$ 通常是广义速度的一次函数：

$\mathscr{L}(q_i,\dot{q_i},t) = \mathscr{L}_0(q,t)+\dot{q_i}a_i(q,t)+\dot{q_i}^2T_i(q,t)$

（注意：该表达式中的拉格朗日只有一个，它是关于指标 $i$ 所对应坐标的函数，其中 $a_i$ 和 $T_i$ 是关于广义坐标和时间的函数。）

步骤中（2）至（5）均可使用代数方法进行一次性操作。若指标（系统自由度） $i = 1,2,3,...,n$ ，我们可将广义速度用属于 $n$ 维空间的矢量 $\mathbf{\dot{q}}$ 来表示。于是，利用矩阵表示法，可将拉格朗日函数写成：

$\mathscr{L}(q,\dot{q},t) = \mathscr{L}_0(q,t)+\mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}}\mathbf{T}\mathbf{\dot{q}}$

其中 $\mathbf{T}$ 是一个 $n\times n$ 方阵，若广义坐标相互正交，它同样也将是对角的。

（例）

考虑笛卡尔坐标系 $q_i = \left\{x,y,z\right\}$ ，

一次项：

$\mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}}\mathbf{a} = (\dot{x},\dot{y},\dot{z})\begin{bmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{bmatrix} = a_x\dot{x} + a_y\dot{y} + a_z\dot{z} = \mathbf{a}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{\dot{r}}$

二次项：

$\frac{1}{2}\mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}}\mathbf{T}\mathbf{\dot{q}} = \frac{1}{2}(\dot{x},\dot{y},\dot{z})\begin{bmatrix}m & 0 & 0\\0 & m & 0\\0 & 0 & m\end{bmatrix}\begin{pmatrix}\dot{x}\\\dot{y}\\\dot{z}\end{pmatrix} = \frac{m}{2}(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2)$

$\bullet$ 用同样的表示，哈密顿函数变成：

$\begin{align*}\mathscr{H} &= \mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}}\mathbf{p} - \mathscr{L}\\&= \mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}}\mathbf{p} - \mathscr{L}_0 -\mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}}\mathbf{a} - \frac{1}{2}\mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}}\mathbf{T}\mathbf{\dot{q}}\\&=\mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}}(\mathbf{p} - \mathbf{a}) - \frac{1}{2}\mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}}\mathbf{T}\mathbf{\dot{q}} - \mathscr{L}_0\end{align*}$

$\bullet$ 正则动量：

$\begin{align*}p_i &= \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}} = \frac{\partial}{\partial \dot{q_i}}\left[\mathscr{L_0(q,t)+\dot{q_i}a_i(q,t)+\frac{1}{2}\dot{q_i}^2 \rm{T_i}(q,t)}\right]\\&= a_i(q,t) + \dot{q_i}T_i(q,t)\end{align*}$

$\implies \mathbf{p} = \mathbf{T}\mathbf{\dot{q}} + \mathbf{a}$

求解 $\dot{q_i}$ 关于 $p_i$ 的反函数需要求解矩阵 $\mathbf{T}$ 的逆变换：

$\mathbf{\dot{q}} = \mathbf{T}^{-1}(\mathbf{p}-\mathbf{a})$

（注意：这里我们默认了逆矩阵的存在，因为动能具有正定性（质量非负），所以方阵 $\mathbf{T}$ 通常都是可逆的。）

它的转置： $\mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}} = (\mathbf{p}^{\rm{t}} - \mathbf{a}^{\rm{t}})\mathbf{T}^{-1}$

$\bullet$ 接下来我们只需将上面的结果代入哈密顿函数就可以消去关于广义速度的依赖关系：

$\begin{align*}\mathscr{H} &= (\mathbf{p}^{\rm{t}} - \mathbf{a}^{\rm{t}})\mathbf{T}^{-1}(\mathbf{p}-\mathbf{a}) - \frac{1}{2}(\mathbf{p}^{\rm{t}} - \mathbf{a}^{\rm{t}})\mathbf{T}^{-1}\mathbf{T}\mathbf{T}^{-1}(\mathbf{p}-\mathbf{a}) - \mathscr{L}_0\\&= \frac{1}{2}(\mathbf{p}^{\rm{t}} - \mathbf{a}^{\rm{t}})\mathbf{T}^{-1}(\mathbf{p}-\mathbf{a}) - \mathscr{L}_0\end{align*}$

总结

$\bullet$ 如果系统的特殊性使得拉格朗日函数具有形式： $\mathscr{L}(q,\dot{q},t) = \mathscr{L}_0(q,t)+\mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}}\mathbf{T}\mathbf{\dot{q}}$ ，那么我们就可以直接跳过所有中间环节直接写出哈密顿函数： $\mathscr{H} = \frac{1} {2}(\mathbf{p}^{\rm{t}} - \mathbf{a}^{\rm{t}})\mathbf{T}^{-1}(\mathbf{p}-\mathbf{a}) - \mathscr{L}_0$ 。

$\bullet$ 对于方阵 $\mathbf{T}$ ，它的逆矩阵可由公式：

$\mathbf{T}^{-1} = \frac{1}{|\mathbf{T}|}\mathbf{T}_C^{\rm{t}}$

得到。

其中 $|\mathbf{T}|$ 为 $\mathbf{T}$ 的行列式。 $\mathbf{T}_C$ 是余因子，其矩阵元 $(T_C)_{jk}$ 等于 $(-1)^{j+k}$ 与删去 $j$ 行 $k$ 列后得到行列式的乘积。

$\bullet$ 当方阵为对角时，其逆矩阵也同样对角，并且对应矩阵元等于原矩阵矩阵元的倒数。

（例）

$\mathbf{T} = \begin{bmatrix}m & 0 & 0\\ 0 & m & 0\\0 & 0 & m\end{bmatrix}$

$\mathbf{T}_C = \begin{bmatrix}m^2 & 0 & 0\\ 0 & m^2 & 0\\0 & 0 & m^2\end{bmatrix} = \mathbf{T}_C^{\rm{t}}$

$|\mathbf{T}| = m(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}m & 0\\0&m\end{vmatrix} = m^3$

$\mathbf{T}^{-1} = \frac{1}{m^3}\mathbf{T}_C^{\rm{t}} = \begin{bmatrix}1/m & 0 & 0\\ 0 & 1/m & 0\\0 & 0 & 1/m\end{bmatrix}$

分析力学基本原理介绍7.2：哈密顿运动方程（1）

总结

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