線性代數複習-part2

2018-10-20 本文已影响0人 RJ阿杰

參考李宏毅老師課程

矩陣相乘

內積

4種方法
1.最原始的方法

2.矩陣相乘可以看作是column的線性組合

3.矩陣相乘可以看作是rows的線性組合

4.矩陣相乘可以看作是一堆Rank=1矩陣相加。
Block Multiplication
矩陣可以切成任意區塊然後再相乘。

矩陣的性質

矩陣運算量

比較矩陣相乘順序
比較CPU與GPU矩陣運算差異

inverse(反矩陣)

定義

若有一個A矩陣與B矩陣，而他們的內積 $AB=I(Identity)且BA=I(Identity)$ ，則他們invertible(可逆)且互為反矩陣， $一個A若可逆必定只有一個A^{-1}$ $。$
若要判斷AB是否互為反矩陣只需要相乘後看是否為 I(Identity) $。$

性質

若 $A、B$ 不為正方形矩陣，則不可能為inverse $。$
若AB=I且BA=I，則他們不可能有其他inverse，例如AC=I $。$
其他性質

solve system of linear equations

$Ax=b，sol:x=A^{-1}b$

左:解釋，右:範例

Invertible(可逆)

條件

滿足下列任一個條件為Invertible

回故
ex. $y=x^2+c，domain=R，Co-domain=R^2，Range=(R^+,0)$
ex. $matrix　A ，Domain=R^{n}，Co=domain=R^m，Range=?$
one-to-one：無解或唯一解，onto：總是有解
同時為one-to-one與onto表示domain與co-domain一樣大

特性

Invertible同時為one-to-one及into，必定為 $n \times n$ 矩陣，只會有唯一解(線性獨立) $。$
以one-on-one及onto判斷是否為invertible $。$
Rank=n， $n \times n$ 矩陣，等於先前提到的Rank = n，Rank = m同時成立。

範例

elementary matrices

高斯消去Row的3種運算
高斯消去Row的3種運算都可以用乘以elementary matrix來執行，注意elementary matrix在前 $。$
如何找到elementary matrices
例子:找到能交換1、2 row的elementary matrices
以elementary matrices得到RREF
elementary matrix是Invertible(可逆的) $。$
A可以由RREF經過反elementary matrices推回，任何矩陣與Identity相乘都不會有改變，所以A就可以看乘是由 $E^{-1}$ 相乘而來。

求inverse

直接列舉解聯立(效率差)
由elementary matrix求得
我們知道 $A若可逆(存在反矩陣)，AA^{-1}=I$ ，而 $EA=RREF=I$ ，所以 $E=A{-1}$ $。$
解RREF時同時求E，將一個 $I$ 並排在 $A$ 的右側，再求RREF時所做的elementary matrices運算都會同時對 $I$ 做一次，而A運算後最後得到的值若為I表示A存在 $A^{-1}$ ， $I$ 運算後最後得到的值，就是所有 $E_1-E_k$ 相乘後的 $E=A^{-1}$ $。$
例子

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