1.1方程求根之二分法

2018-11-28 本文已影响0人张一根

前言

对于普通的方程，我们用高中学的解方程方法是可以的，不过对于 超越方程 与 高次代数方程 的求解是很困难的，而且也很难得到准确得解，今天我们用Python语言和二分法来求解这些方程，得到满足精度的解，并不是准确。

（一）二分法的分析

1.定义：

在某区间有函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 内单调连续，且 $f(a)*f(b)<0$ ,根据连续函数的性质可知方程在 $[a,b]$ 内一定有唯一的实根。

2.需要满足的条件：

$f(x)$ 是单调函数

$f(x)$ 是连续函数

$f(a)*f(b)<0$

3.二分法的思想：

不断的分割 $[a,b]$ 区间，取 $[a,b]$ 的中点值 $x=(a+b)/2$

当 $f(x)*f(a)<0?$ 时，则根在 $[a,x]?$ 之间;

当 $f(x)*f(b)<0$ 时，则根在 $[x,b]$ 之间。

再分割 $x=(a+b)/2$

直到 $x$ 满足我们的精度，我们取 $x$ 为 $f(x)$ 的近似解。

4.二分法的误差：

我们取的是:第k次分割后的中间值为近似解。

即： $x_k=\frac{1}{2}(a_k+b_k)$

对于预先给定的误差： $\varepsilon>0$

有： $|x^*-x_k| \le \frac{1}{2}(b_k-a_k)=\frac{1}{2^k+1}<\varepsilon$

（二）代码实现

1.算法流程图：

二分法流程图.jpg

2.源代码：

（1）feval函数：

def feval(string, a):
    """
        根据值来计算数学表达式。
    :param string: 含有x未知数的数学表达式
    :param a: 自变量x的具体数值
    :return:  数学表达式的计算结果
    """
    count = string.count("x")
    string = string.replace('x', '%f')
    t = (a, ) * count
    result = eval(string % t)
    return result

（2）二分法

"""
    二分法：
    f(a)*f(b)<0 连续函数f(a)在a,b区间必有根。
"""
from my_math.func_math import feval

def two_fun(expr, a, b, r):
    """
        二分法求解方程
    :param expr: 方程表达式
    :param a: 左端
    :param b: 右端
    :param r: 精度
    :return: 求解的结果
    """
    f_a = feval(expr, a)
    f_b = feval(expr, b)
    if f_a*f_b >= 0:
        print("该区间没有根")
    else:
        k = 0
        while 1/(2**(k+1)) > r:
            x = (b + a)/2
            if feval(expr, a) * feval(expr, x) > 0:
                a = x
            else:
                b = x
            k += 1
            print("*"*20)
            print("次数", k)
            print("x:", x)
            print("a:", a)
            print("b:", b)

    result = (a+b)/2
    print("满足精度的结果：", result)

# 求解1-x-sin(x)=0为例
if __name__ == '__main__':
    two_fun("1-x-sin(x)", 0, 1, 10**-4)