数学笔记：不等式

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三角不等式
$| |z| - |w| | \leq |z - w| \leq |z| + |w|, z, w \in C$
伯努利不等式
$(1+x)^n \geq 1 + nx ( x \geq -1, n = 1, 2, 3 \cdots)$
二项不等式
$|ab| \leq \frac{1}{2}(a^2 + b^ 2), a, b \in R$
均值不等式 调和平均数、集合平均数、算术平均数和二次平均数
$\frac{2}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} } \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

$min\{x_1,x_2, \cdots x_n\} \leq \frac{n}{ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n} } \leq \sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n} \leq \frac{x_1+x_2 \cdots + x_n}{n}\leq \sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2 \cdots + x_n^2}{n}} \leq max\{x_1,x_2, \cdots x_n\}$

杨氏不等式
$|ab| \leq \frac{|a|^p}{p} + \frac{|a|^q}{q} (a,b \in C; p > 1, q > 1, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1)$
施瓦茨不等式
$| \sum_{k=1}^{n}{x_ky_k} | \leq (\sum_{k=1}^{n}{|x_k|^2)}^\frac{1}{2} + (\sum_{k=1}^{n}{|y_k|^2})^\frac{1}{2}$
闵可夫斯基不等式
$||x+y||_p \leq ||x||_p + ||y||_p, \ \ x, y \in C^N, \ \ 1 \leq p \leq \infty$

数学笔记：不等式

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