用分组法解数列求和问题

2020-12-23 本文已影响0人天马无空

用分组法解数列求和问题

方法二分组法

解题步骤：

第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；

第二步巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；

第三步分别求和：即分别求出各个数列的和；

第四步组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.

【例】已知数列 $\{a_n\}$ 是 $3＋2－1$ , $6＋2^2－1$ , $9＋2^3－1$ , $12＋2^4－1$ ，…，写出数列 $\{a_n\}$ 的通项公式并求其前 $n$ 项和 $S_n$

分析：先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解。

解：由已知得，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=3n+2^n-1=3n-1+2^n$ ，

$\therefore S_n=a_1+a_2+…+a_n$
$=(2+5+…+3n-1)+(2+2^2+…+2^n)$

$=\dfrac{n(2+3n-1)}{2}+\dfrac{2(1-2^n)}{1-2}$

$=\dfrac{1}{2}(3n+1)+2^{n+1}-2$

【总结】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化，特别注意在含字母的数列中对字母的讨论。