棒纵振动方程

2020-04-16  本文已影响0人  itkkanae

首先还是列出几个不同情况下声传播速度的公式（参考）
弦上传播，应力F_{T}，弦的密度\mu：

c_{0}=\sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}}

固体中传播，杨氏模量Y，密度\rho：

c_{0}=\sqrt{\frac{Y}{\rho}}

理想气体中传播，绝热指数\gamma，气体常数R，开氏温度T_{K}，摩尔质量M：

c_{0}=\sqrt{\frac{\gamma RT_{K}}{M}}

均匀细棒纵振动方程
现有一根沿x方向传输小振幅纵波的细棒，截面所受应力T(x)，棒横截面积S，棒密度\rho，体积微元振动位移\zeta（这里x与\zeta是同向距离维度，但\zeta振动幅度很小，对x影响可以忽略不计）

根据牛二定律：

ST(x+dx)-ST(x)=\rho Sdx\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial t^{2}}

S\frac{\partial T}{\partial x}dx=\rho Sdx\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial t^{2}}

\frac{\partial T}{\partial x}=\rho\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial t^{2}}

其中应力T=Y\varepsilon，Y为杨氏模量，\varepsilon=\lim_{L\to 0}\frac{\Delta L}{L}\approx\frac{\partial\zeta}{\partial x}为应变，带入得：

Y\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial x^{2}}=\rho\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial t^{2}}

带入声速得振动方程：

c^{2}_{0}\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial t^{2}}

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