看图猜答案：2018年理数全国卷B题3

2022-04-27 本文已影响0人易水樵

函数 $f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{x^2}$ 的图像大致为

【解析】

这道题不需要读题，就可以直接圈定正确选项.

选项A：轴对称；图像在一、二象限； $x$ 足够大时函数值迅速地增大；

选项B：点对称；图像在一、三象限； $x$ 足够大时函数值迅速地增大；

选项C：点对称；图像在一、三象限； $x$ 足够大时函数值缓慢地增大；

选项D：点对称；图像在二、四象限； $x$ 足够大时函数值迅速地下降；

根据以上图像特征，可以迅速地淘汰 A C D选项，圈定 B 为正确选项. 理由如下：

选项A：唯一的轴对称图像，淘汰；

选项D： $(0,+\infty)$ 区间的函数值为负，而其它三个都为正，淘汰；

选项C：增长缓慢，不合群；淘汰；

【验证】

$f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{x^2}$

$f(-x) = - f(x)$

这是一个奇函数；

当 $x \in (0,+\infty), \; e^x \gt 1 \gt e^{-x}$ ,

$f(x) \gt 0$

再进一步，

$f(x)= \dfrac{1}{2x^2} e^x + \dfrac{1}{x^2} (\dfrac{1}{2}e^x - e^{-x})$

当足够大时， $\dfrac{1}{2}e^x -e^{-x} \gt 0$

$f(x) \gt \dfrac{1}{2x^2} e^x$

$\dfrac{1}{2x^2} e^x = \dfrac{e^{\frac{x}{2}} }{2x^2} e^{\frac{x}{2}}$

当足够大时， $\dfrac{e^{\frac{x}{2}} }{2x^2} \gt 1$

函数 $f(x)$ 的增长是指数式的.

前面我们猜想选项 B 正确；根据以上推导可知，前面的猜想是有依据的.

【提炼与提高】

这是一道典型的送分题. 解答送分题一定要快，要在30秒或者更短的时间内圈定正确答案.

对于函数图像类问题，「先猜后证」是有效策略.