概率 （一）

2018-10-10  本文已影响0人  无敌最俊俏

基本概念回顾

  1. 样本空间：随机试验可能产生所有结果组成的集合。以属性为坐标轴张成多维空间。一般标记为S
    注意：所有不同的属性都应该对应一个维度。例如，使用一个均匀和一个不均匀的骰子，虽然它们能骰出的数字都属于{1，2，3，4，5，6}，但样本空间还需要标注它们骰子的类型，所以最终空间应当记作：{均匀，不均匀}\times{1,2,3,4,5,6}, 有十六个元素。
  2. 随机变量(Random variable, RV)：将样本空间映射到数值上的函数，一般记作X(s)(s\in S)。
    分类：a）连续随机变量；b）离散随机变量；c）混合型随机变量
    连续随机变量是在实数域内处处连续的；离散随机变量则是只有在某些特定取值时有发生的可能性；而如果一个变量既非连续也非离散，则称为混合型。
  3. 概率密度函数(Probability density function, PDF)：表征连续随机变量一个结果附近的概率。
    性质：
    a) \forall x_0\in \mathbb{R},f_X(x=x_0)=0. 但这并不代表x_0是不可能事件！
    b) f_X(x=\pm\infty)=0
  4. 概率质量函数(Probability mass function, PMF)：表征离散随机变量一个结果发生的概率。结果应当为有限个。
  5. 累计分布函数(Cumulated distribution function, CDF)：F_X(x):=P(X<x)
    性质：
    a) \lim_{x\to-\infty}F_X(x)=0，\lim_{x\to\infty}F_X(x)=1
    b) \forall(x)\in\mathbb{R}, F_X(x)\in[0,1]
    c) x_1<x_2\Rightarrow F_X(x_1)\le F_X(x_2)
    对于连续的随机变量，F_X(X<x_0)=\int_{-\infty}^{x_0}f_X(x)dx。
    对于离散的随机变量，F_X(X<x_0)=\sum_{x_i<x_0}P(X=x_i)
  6. 条件概率：在事件B发生的前提下事件A发生的概率。 P(A|B)=P(A\cap B)P(B)
    贝叶斯公式(Bayes)：
    P(B_j|A)=\frac{P(A|B_j)P(B_j)}{P(A)}=\frac{P(A|B_j)P(B_j)}{\sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i)}
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