G‘G展开法等多种求解微分方程方法

2022-10-17 本文已影响0人 Neural_PDE

1 PDEs转ODEs

偏微分方程 $P\left(u, u_{x}, u_{t}, u_{x x}, \ldots\right)=0,$
通过变换 $u(x, t)=U(\xi),\xi=ax+bt+cy+dz,$
成为 $F\left(U, U^{\prime}, U^{\prime \prime}, U^{\prime \prime \prime}, \ldots\right)=0.$

注：这里变换有好多形式.
例如： $u(x, t)=P(\xi) e^{i(k x-w t+\theta)}, \quad \xi=x-c t,$
此时 $PDE$ 转化为实部 $F_1$ 和虚部 $F_2$ , 即得到了ODEs(常微分方程组)

2 对于常微分方程求解(待定系数法)

2.1 齐次平衡找到N

最高阶导数项: $U^{\prime \prime \prime \prime}$ 为N+4
最高阶非线性项: $U^{\prime} U^{\prime \prime}$ 为(N+1)+(N+2)
令最高阶导数项=最高阶非线性项，得 N=1

例1： $u_{t}+u u_{x}-u_{x x}=0$ ,
其中最高阶导数项为 $u_{x x}$ , 最高阶非线性项为 $u u_{x}$ ,
根据齐次平衡原则有 $n+2=n+(n+1)$ , 所以平衡指数为 $n=1 .$

例2： $\frac{\left(\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{~d} \xi^{2}} U(\xi)\right) \sigma k_{1}^{2}}{2}+\beta U(\xi)|U(\xi)|^{2}-\frac{U(\xi) \sigma k_{2}^{2}}{2}-U(\xi) c_{2}=0$ ,
其中最高阶导数项为 $U_{\xi \xi}$ , 最高阶非线性项为 $u |u|^2$ ,
根据齐次平衡原则有 $n+2=n+n+n$ , 所以平衡指数为 $n=1 .$

2.2 给出试探函数

多种假设 $U(\xi)=...$ (这里需要用到齐次平衡)
这里往往 $U(\xi)=...$ 已知条件如下：
具有如下的解：

2.3 将假设回代ODEs

求得结果