第二章 电磁场的基本规律

2019-12-08  本文已影响0人  HaughtyHH

电荷守恒定律

电荷与电荷分布

在电磁理论中，根据电荷分布的具体情况，电荷源模型分为体电荷、面电荷、线电荷和点电荷，分别用电荷体密度 \rho 、电荷面密度 \rho_S 和电荷线密度 \rho_L 来描述电荷在空间体积、曲面和曲线中的分布。 \rho(\vec{r}) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac { \Delta q }{\Delta V } = \frac{dq}{dV} \qquad C/m^3 \rho_S (\vec{r}) = \lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac { \Delta q }{\Delta S } = \frac{dq}{dS} \qquad C/m^2 \rho_l (\vec{r}) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac { \Delta q }{\Delta l } = \frac{dq}{dl} \qquad C/m
"点电荷"是电荷分布的一种极限情况。当电荷q位于坐标原点是，其体密度 \rho(\vec{r})=\lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{q}{\Delta V}= \{ ^{0 \qquad (r \not= 0时)} _{\infty \qquad (r = 0时)} 可用 \delta 函数表示为 \rho(\vec{r})=q \delta(\vec{r})

电流与电流密度

在电磁理论中，电流源模型分为体电流、面电流和线电流，分别用电流密度 \vec{J} 和 面电流密度 \vec{J_S} 来描述电流在截面上和厚度趋于零的薄膜上的分布。| \vec{J} | = \lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\Delta i}{\Delta S} = \frac{di}{dS} \qquad A/m^2 | \vec{J_S} | = \lim_{\Delta l \rightarrow 0} \frac{\Delta i}{\Delta l} = \frac{di}{dl} \qquad A/m

z电荷守恒定律

积分形式\oint_S \vec{J} \cdot d \vec{S} = - \frac{d}{dt} \int_V \rho d V 积分形式 \nabla \cdot \vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0

真空中的静电场方程

库仑定律

真空中，位于 \vec{r_1} 处的点电荷 q_1 对于位于 \vec{r_2} 处的点电荷 q_2 的作用力为\vec{F_{12}}=\vec{e_R} \frac{q_1 q_2 (\vec{r_1} - \vec{r_2})}{4 \pi \varepsilon _0 | \vec{r_1} - \vec{r_2}|} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon _0 R^3} \vec{R}

电场强度

电场强度的定义

\vec{E(r)}=\lim_{q_0 \rightarrow 0} \frac{\vec{F(r)}}{q_0}

已知电荷分布求解静电场强度

点分布\vec{E(r)} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon _0} \frac{\vec{r}-\vec{r'}}{|\vec{r}-\vec{r'}|^3}
体密度分布\vec{E(r)} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon _0} \int_V \frac{\vec{r}-\vec{r'}}{|\vec{r}-\vec{r'}|^3} \rho (\vec{r'})dV'
面密度分布\vec{E(r)} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon _0} \int_S \frac{\vec{r}-\vec{r'}}{|\vec{r}-\vec{r'}|^3} \rho_S (\vec{r'})dS'
线密度分布\vec{E(r)} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon _0} \int_l \frac{\vec{r}-\vec{r'}}{|\vec{r}-\vec{r'}|^3} \rho_l (\vec{r'})dl'

静电场方程

积分形式\oint_S \vec{E(r)} \cdot d \vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \oint_C \vec{E(r)} \cdot d \vec{l} = 0
微分形式\nabla \cdot \vec{E(r)} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \nabla \times \vec{E(r)} = 0

真空中的磁场方程

安培力定律

真空中，线电流回路 C_1 对回路 C_2 的磁场力为 F_{12} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \oint_{C2} \oint_{C1} \frac{I_2d \vec{l_2} \times [I_1d \vec{l_1} \times \vec{r_2}-\vec{r_1}]}{|\vec{r_2}-\vec{r_1}|}

磁感应强度

已知电流分布求解磁感应强度
线电流\vec{B(r)}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \oint_C \frac{I d \vec{l'} \times ( \vec{r_2} - \vec{r_1})}{|r-r'|}
面电流\vec{B(r)}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_S \frac{\vec{J_S}(\vec{r'})\times(\vec{r}-\vec{r'})}{|r-r'|^3}dS'
体电流\vec{B(r)}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_V \frac{\vec{J}(\vec{r'})\times(\vec{r}-\vec{r'})}{|r-r'|^3}dV'

静磁场方程

积分形式 \oint_S \vec{B(r)} \cdot d \vec{S} = 0 \oint_C \vec{B(r)} \cdot d \vec{l} = \mu_0 I
微分形式 \nabla \cdot \vec{B(r)} = 0 \nabla \times \vec{B(r)} =\mu_0 \vec{J(r)}

电磁感应定律

积分形式 \oint_C \vec{E} \cdot d \vec{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S}
微分形式 \nabla \times \vec{E} = - \frac{ \partial \vec{B} }{\partial t}

位移电流密度

\vec{J_d}=\frac{ \partial \vec{D}}{ \partial t}
引入位移电流的概念后，安培环路定律修正为\oint_C \vec{H} \cdot d \vec{l} = \int_S (\vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \cdot d \vec{S}

麦克斯韦方程组

积分形式

\oint_C \vec{H} \cdot d \vec{l} = \int_S (\vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \cdot d \vec{S} \oint_C \vec{E} \cdot d \vec{l} = - \int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{S} \oint_S \vec{B} \cdot d \vec{S} = 0 \oint_S \vec{D} \cdot d \vec{S} = q

微分形式

\nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{ \partial \vec{D}}{ \partial t } \nabla \times \vec{E} = -\frac{ \partial \vec{B}}{ \partial t } \partial \cdot \vec{B} = 0 \partial \cdot \vec{D} = \rho

媒质的电磁特征方程

对于线性和各向同性媒质，场量之间的关系为 \vec{D} = \varepsilon \vec{E} \vec{B} = \mu \vec{H} \vec{J} = \sigma \vec{E}

电磁场的边界条件

边界条件的一般形式

\vec{e_n} \times (\vec{H_1}-\vec{H_2}) = J_S \vec{e_n} \times (\vec{E_1}-\vec{E_2}) = 0 \vec{e_n} \cdot (\vec{B_1}-\vec{B_2}) = 0 \vec{e_n} \cdot (\vec{D_1}-\vec{D_2}) = \rho_S
式中 \vec{e_n} 为媒质分界面法线方向的单位矢量，选定为离开分界面指向媒质1

两种理想介质分界面（\vec{J_S}=0,\rho_S =0）的边界条件

\vec{e_n} \times (\vec{H_1}-\vec{H_2}) = 0 \vec{e_n} \times (\vec{E_1}-\vec{E_2}) = 0 \vec{e_n} \cdot (\vec{B_1}-\vec{B_2}) = 0 \vec{e_n} \cdot (\vec{D_1}-\vec{D_2}) = 0

理想导体的边界条件（设定媒质2为理想导体）

\vec{e_n} \times \vec{H_1} = 0 \vec{e_n} \times \vec{E_1} = 0 \vec{e_n} \cdot \vec{B_1}= 0 \vec{e_n} \cdot \vec{D_1}= \rho_S

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