2019-03-11

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高斯过程
高斯分布： $p_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}$
Q函数与erfc函数
- $X\sim N(0,1),Q(x) = Pr\{ X>x\}$
$X\sim N(0,\frac{1}{2}),erfc(x) = Pr\{|X|>x \}$
联合高斯：独立高斯的线性组合
高斯过程：随机过程 $X(t)$ 中的任意多个时刻的随机变量的联合高斯
高斯过程乘以确定信号还是高斯过程
高斯过程通过滤波器还是高斯过程
白高斯过程
理性限带白噪声是零均值平稳高斯过程，其功率谱密度是
- $P_{n_B}(f) = \begin{cases}\frac{N_0}{2},|f|\leq B\\0,else\end{cases}$
高斯白噪声是理想限带白噪声带宽趋于无穷的极限
- $n_w(t) = \lim_{B\to \infty}n_{B}(t)$
高斯白噪声的功率谱密度是常数，自相关函数是冲激
高斯白噪声通过冲激响应为 $h(t)$ 的滤波器后的输出是零均值平稳高斯过程，其功率是 $\frac{N_0}{2}E_{h}$
高斯白噪声通过带宽为B、增益为1的理想低通滤波器后是零均值平稳高斯过程，其功率是 $N_0B$
白噪声微分后的功率谱密度呈现抛物线形状
白高斯噪声与确定信号的内积
高斯白噪声与确定信号的内积是零均值高斯随机变量，方差为 $\frac{N_0}{2}E_g$
高斯白噪声在两个正交确定信号上的内积是两个独立的零均值高斯随机变量
高斯白噪声在一组归一化正交函数上的投影是一组独立同分布的高斯随机变量，方差均为 $\frac{N_0}{2}$
窄带高斯噪声的解析信号及复包络
窄带高斯噪声 $n(t)$ 是高斯白噪声通过带通滤波器的输出
$n(t)$ 是带通型的零均值平稳高斯过程
$n(t)$ 的功率谱密度为 $P_{n}(f) = \frac{N_0}{2}|H(f)|^2$
$n(t)$ 的解析信号 $z(t)$ 是零均值平稳复高斯过程，满足共轭不相关
$z(t)$ 的功率谱密度为 $P_{z}(f) = \begin{cases}4 P_{n}(f) f>0\\0 f<0\end{cases}$
$n(t)$ 的复包络 $n_{L}(t)$ 是零均值平稳复高斯过程，满足共轭不相关
的功率谱密度
- $P_{L} = P_{z}(f+f_c) = 4P_{n}(f+f_c),|f|<f_c$
的功率是功率的2倍
- $P_{L}= 2P_{n}$
窄带高斯噪声的同相分量及正交分量
$n(t)$ 的同相分量 $n_c(t)$ 、正交分量 $n_{s}(t)$ 是联合平稳的零均值高斯过程，二者有相同的自相关函数和功率谱密度，在同一时刻独立。
$n_c(t),n_s(t),n(t)$ 三者有相同的功率
$n(t)$ 的包络服从瑞丽分布，相位服从均匀分布。
匹配滤波器
确定信号叠加白噪声后通过滤波器，能使特定时刻信噪比最大的滤波器叫匹配滤波器
滤波器冲激响应乘以常系数不影响输出信噪比
匹配滤波器输出的最大信噪比是 $\gamma_{max} = \frac{2E_s}{N_0}$
匹配滤波器的冲激响应是 $h(t) = K\cdot s(t_0-t)$
匹配滤波器的输出有用信号波形是该确定信号的自相关函数。

2019-03-11

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