泰勒公式

2018-12-15  本文已影响0人  杨sy

<center>泰勒公式</center>

泰勒(Taylor)中值定理1: 如果函数f(x)在x_0处具有n阶导数，那么存在x_0的一个邻域，对于该邻域内一x，有：

f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)

其中

R_n(x)=o((x-x_0)^n)

泰勒中值定理2: 如果函数f(x)在x_0某个邻域U(x_0)内具有(n+1)阶导数，那么对应任一x \in U(x_0)，有：

f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)

其中

R_n(x)=f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}

这里\xi是x与x_0之间的某个值。
此公式也被称为f(x)在x_0处（或按(x-x_0)的幂展开）的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式，而R_n(x)的表达式被称为拉格朗日余项。

在泰勒中值定理1中，如果取x_0=0，那么带有佩亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式：

f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)

在泰勒定理2中，如果取x_0=0，那么\xi在0和x之间，因此可以令\xi=\theta x (0<\theta<1)，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日余项的麦克劳林公式：

f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{(n+1)}(0<x<1)

f(x)=e^x \approx 1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!},

证明：
\because f'(x)=f''(x)=\dots=f^{(n)}=e^x,
\therefore f(0)=f'(0)=f''(0)=\dots=f^{(n)}(0)=1,
\therefore e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{(n+1)}.
当x=1时

f(1)=e\approx 1+1+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}.

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+R_{2m}(x),
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+R_{2m+1}(x),
\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1},

证明：
\because \arctan' x=\frac{1}{1+x^2} =\frac{1}{1-(-x^2)}=\sum_{k=0}^{\infty}(-x^2)^k=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot x^{2k};
\therefore \arctan x =\int \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot x^{2k}dx =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot\int x^{2k}dx =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1}

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