深入理解向量进行矩阵变换

先复习几个概念：

向量：

可以有以下两种理解：

• 空间上的一个点

• 空间上一段带有长度和方向的线段

  
  向量的理解
  

  上图表述的是平面上一点，在以i和j为基的坐标系里的几何表示，这个点可以看作（x，y）也可以看作是向量ox与向量oy的和。

矩阵：

就是长这个样子：

矩阵

矩阵和向量的乘法：

矩阵*向量

下面进入正题：

前面说过，某个向量可以看成一些标量倍的基向量的和。
比如，上面提到的那个向量，则是x倍的i向量+y倍的j向量，即xi+yj
那我们上面矩阵运算的结果则可以看成是ax+by+cx+dy
我们简单处理一下，则会得到（a+c）x +（b+d）y，是不是看上去就是这个矩阵对原始的x和y做了点什么。
那（a+c）和（b+d）又是什么呢？其实可以理解为他是一个新的基，为什么这么说呢，我们把刚才丢掉的两个数放里面就比较好理解了，如果i和j是老基的单位向量的话，那这个点的向量应该是（xi+yj）吧，上面其实说过了

向量的理解

那么完整的新向量应该是axi+byj+cxi+dyj
也就是（ai+ci）x+（bj+dj）y
对于老的基来说，这个点的x移动了（ai+ci）y方向移动了（bj+dj）
但是对于这个点来说，它一直都是（x，y）从来没有动过，动的只是基变了而已

所以：

综上我们得到的结论是：

• 向量的矩阵变换，就是将空间上的点进行对应的移动

• 亦或是点没有动，只是给这个点换了一个新的基而已
  再总结一点直接上图：

  
  新的基
  

  顺便再盗个图。。。

  
  基的变换
  发现一个非常好的学高数的公众号，叫“马同学高等数学”，里面有些文章是收费的，但是看完之后觉得还真是挺形象的