初高中衔接讲座：4个连续正整数的乘积加上1

2022-04-21 本文已影响0人易水樵

注意以下几个实例：

$1\times2\times3\times4+1=25=5^2$

$2\times3\times4\times5+1=121=11^2$

$3\times4\times5\times6+1=361=19^2$

由此可以猜想：一般地， $4$ 个连续正整数的乘积加上 $1$ ，一定是平方数。试证明上述猜想。

【证明】

4个连续的正整数可以表示为： $n,n+1,n+2,n+3$

$4$ 个连续正整数的乘积加上 $1$ ，可表示为：

$n (n+1) (n+2) (n+3)+1$

$=[n(n+3)] \cdot [(n+1)(n+2)] +1$

$=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$

$=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1$

$=[(n^2+3n)+1]^2$

证明完毕.

【提炼与提高】

本题并没有用到什么高深的知识。从考查知识来说，就是用到了整式的化简、因式分解. 属于七、八年级的教学范围.

即便如此，相当一部分学生在中考后仍然不能独立解答本题.

一个主要的原因在于：在目前的初中教学中，恒等变形的要求大大地降低了. 练得太少，这方面的能力就弱了.

相当一部分学生在进入高中后，感觉难度 “断崖” 式地上升了。原因就在于此.