小样本OLS回归的框架

2021-03-06 本文已影响0人 Boye0212

1 最小二乘法的历史

不管是学习机器学习、计量经济学、数理统计，很多人接触到的第一个算法就是最小二乘法（least squares method）。

这是一个非常古老的方法。早在18世纪早期，在天文学和航海领域就已经出现了最小二乘法的思想。真正意义上第一个正式发表该方法是在1806年的法国科学家Legendre，而数学王子Gauss据说在更早时候就发现了该方法，但直到1809年他在发表计算天体运动轨道时才正式使用，两人也为谁是第一个发现的争论不休。

Gauss毕竟是数学王子，1829年，他又首次证明出，在线性无偏估计量的类中，OLS估计具有最小的抽样方差。在他的证明中，假设了线性回归模型中的误差项是独立且正态分布的，后来，由Markov将假设放宽到只需要误差项不相关、同方差且期望为0即可。因此，该定理最终被命名为Gauss-Markov定理。

2 小样本OLS回归的框架

做OLS回归是为了什么？简而言之，在假设了数据生成过程 $y=\beta' x+\varepsilon$ 并收集到一系列 $(x,y)$ 的数据之后，我们可以做的事情有3个，这也是我们学习OLS回归的路线：

得到系数的点估计；
判断数据拟合得如何？
得到系数的区间估计，进行假设检验。

首先，我们先利用数据得到点估计 $\hat{\beta}$ ，由此还可以得到它的一系列性质，然后，可以通过计算如 $R^2$ 等一系列指标来说明拟合得如何，最后，在得到区间估计后，可以对预先的有关于系数的假设进行假设检验。

2.1 点估计及其性质

在使用OLS回归之后，可以得到

$\hat\beta=(X'X)^{-1}X'y$

这就是系数的点估计，可以看下它有什么样的性质。

首先，它是 $y$ 的线性组合，具有线性性，另外，在施加一些假设后，它的条件期望是对系数的无偏估计，即 $\mathbb{E}(\hat\beta|X)=\beta$ ，而它的方差则由Gauss-Markov定理保证了是最小的，这就是“BLUE”（Best Linear Unbiased Estimator）。

2.2 拟合优度

对于拟合优度，基础的指标有中心化或非中心化 $R^2$ 。

而对于模型的选择来说，如果用 $R^2$ 作为模型选择的标准，则很明显，加入的自变量越多， $R^2$ 就会越高，因此需要用其他的指标。如AIC（Akaike Information Crierion）、BIC（Bayesian Information Crierion）、调整 $R^2$ 即 $\bar{R}^2$ 等，都可以来选择模型。

2.3 区间估计与假设检验

若假设 $\varepsilon|X\sim N(0,\sigma^2 I)$ （其中 $\sigma$ 未知），则 $\hat{\beta}$ 也相应地服从正态分布，因此可以得到它的区间估计。但得到它的区间估计并不是我们的最终目的，我们的最终目的是要检验如 $R\beta=r$ （其中 $R$ 为 $J\times K$ 矩阵）这样的假设是否成立。