回顾与展望2

原本应该是要写物理的东西，但是，考虑之后发现物理的东西很难去说，仿佛成为了一种本能，在讨论的同时已经使用了大量的物理内容，很难说出他的头与尾。

最近在看泛函分析，所以就说一说我的分析的理解了。

我感觉学习分析，要分这几个过程：

一开始是联系实际，从现实出发，看到了很多连续性的现象，连续的运动，一辆车，用肉眼观察，从一个位置移动到了另一个位置，就像一个视频，进度条不论拖到那里，都有一个画面。这时的学习，充满了疑惑，尤其是对于芝诺悖论，还有割圆术的痴迷，认为不可思议，想尽办法去寻找答案。但是答案其实不重要，这只是对学习兴致的激发。这样，一段时间的学习后，差不多学完了基本的微积分运算，会求极限，会求导，会积分，不过，大部分的计算不过是套公式，记结论，主要还是为了应付考试。这时或许有人就不满了，学这些有个屁用，生活用不到，学习用不到，这些人自然是不会再继续往下走了。这些初等的微积分运算其实威力有限，在学习中就已经遇见了很多困难，比如有的积分根本积不出来，有的极限不知从何下手，而且，总感觉这一整套的运算有不对劲的地方，但是又说不出来。

于是来到第二个阶段，重新学习微积分，这一次的重点在于微积分的基础，之前跳过去的证明现在要一个一个的去思考。什么是极限，什么是连续性，求导和积分的公式为什么成立。这时才算真正跨入分析的大门，这些问题的答案，其实也不重要，理解也因人而异，同样是为了激发兴趣。这时高等数学就不太行了，要学习数学分析才能有所帮助。虽然说是入门，但在我看来，学习的困难反而是加大了，因为这些问题如果要讲清楚，必须首先讲明实数域的结构，但是，这就需要相当程度的代数的知识，分析看似是与代数无关，其实根本脱不开关系。所以，一般而言，这一关又得刷下很多人了，就像网上很多人抱怨学习最小上界性有什么用，他们一般也不会继续往下走了。如果还能克服这个知识不足的困难，补充了必要的代数知识，对实数的结构有了基本的认识，那么，接下来就会好走一些，极限变得很明确了，因为极限不再需要信念来支持，而是实数的结构来支持的，在一定程度上让人感觉比较踏实。这就是数学基础的作用，即使我无法简明的说清楚，但是，通过逻辑的推理，我可以证明他的成立，这个证明的基础仅仅是一些公认的事实。其实，这一阶段也代表了，数学的学习从具体变得抽象了，证明不再是表达式和运算的堆砌，出现了许多存在性，任意性的描述。这一阶段的学习是很困难的，观念的转变需要足够长的时间来适应，着急也没有用。

第三阶段，我感觉从这开始就有了一些区分，一个方向是分析的推广，从实数推广到欧式空间，度量空间，这应该是泛函分析的路，一个是对函数的推广，从连续函数到实值函数，这是实变函数，泛函和实变又会结合在一起，使得研究对象更加普遍。对这一块，我还在学习中，所以，只是一种模糊的看法。

以上是关于学习的回顾，在这个过程中，认识逐渐深刻，对于分析的理解也不断加深。感觉，分析就是近似的学问，无论是怎样复杂的构造，最终目的都是要找出主要部分，忽略次要部分，这一点和物理很像。在物理中，通过给出合理的假设，来化简复杂的微分方程，代数方程。得到简单而又可靠的结论，毕竟物理还是面向现实的，强行追求无限的准确，反而是南辕北辙，一点微小的扰动都会让整个理论崩塌。还是可靠性强的理论值得信任，即使有微小的扰动，也会被理论限制住，这一点和控制系统的设计有很相似了。所以，分析对于物理，控制理论的发展都做出了很大的贡献，他们都是近似的学问，在这些学科中也能找出大量的关于分析的相关知识与运用，因此对于分析的学习还是很有必要的。

然后是展望，这一块来源于我的一个想法，关于湍流，湍流可以说是物理中最难啃的骨头了，虽然建立了微分方程，但是几百年过去了，依然没有大的进展，而且越是研究，反而发现问题是越来越复杂，现实远比想象的要困难，随机性，非线性，混沌，许许多多的新特性被发掘出来，成为了新的研究方向。所以说，要解决这个问题，人们的数学知识还远远不够。分析，在我看来是比较有希望的理论，尤其是分形几何对于自相似结构的揭示，湍流中的漩涡也是大涡套小涡，一层一层套下去，呈现一种典型的自相似结构，我感觉这和极限的构造过程有点相像，不知道能否通过定义一种新的极限或者说新的序列来构建这样的理论。不过，毕竟不是专业人士，对这方面了解有限，也就是一种猜测罢了。不过，还是希望这个问题可以解决，那样就会有许多超乎想象的景观了。就像水流和云朵一样，千变万化。