求函数定义域的常用方法

2020-06-24 本文已影响0人天马无空

常见的用解析式表示的函数 $f(x)$ 的定义域可以归纳如下：
（1）若 $f(x)$ 是整式，则 $f(x)$ 的定义域是 $R$ .
（2）若 $f(x)$ 是分式，则要求分母不为零.
（3）若 $f(x)=\sqrt[2n]{g(x)}(n \in N^*)$ ，则要求 $g(x) \geqslant 0$ 。
（4）当 $f(x)$ 为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合;如 $f(x)=\text{log}_a[g(x)](a>0且a \neq 1)$ ，则要求 $g(x)>0$ .
（5） $y=x^0$ 的定义域是 $\{x \in R | x \neq 0 \}$ .
（6）若同时出现上述情况，则先分别找出各自的定义域，然后求交集.
（7）复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集.
（8）对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约.
（9）求含参数的函数的定义域时应进行分类讨论.
（10）抽象函数的定义域
对于无解析式的函数的定义域问题，要注意如下几点：
① $f[g(x)]$ 的定义域为 $[a,b]$ ，指的是 $x$ 的取值范围为 $[a,b]$ ，而不是 $g(x)$ 的取值范围为 $[a,b]$ .
②若已知 $f(x)$ 定义域为 $[a,b]$ ，求函数 $f[g(x)]$ 的定义域，由不等式 $a\leqslant g(x)\leqslant b$ 解出即可；
若已知 $f[g(x)]$ 的定义域为 $[a,b]$ ，求 $f(x)$ 的定义域，相当于 $x \in [a,b]$ 时，求 $g(x)$ 的值域（即 $f(x)$ 的定义域）

求函数定义域的常用方法

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