雪花曲线

刚刚过了元旦节，2018年的首场大雪就华丽登陆了全国大部分地区，今天很多地方银装素裹被花生油色的太阳光直射，明晃晃的耀眼，一派节日的喜庆。在漫天飘着雪花和站在阳光下欣赏浪漫雪景的时候你在想些什么？你关心雪花的形状吗？你想更细致一点欣赏雪花的美吗？

瑞士的Wilson Bentley在少年时代就对雪花感兴趣，最终于1885年1月15日拍下了第一张雪花照片，他的一生共拍摄了五千多张雪花照片。日本物理学家中谷宇吉郎在1930年代第一次把雪花分了类，并首次在实验室实现了人工结晶。在二十世纪，开始用几何方法对雪花进行了研究。1904 年Helge von Koch在他的论文《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》中首次提到了雪花曲线，因此雪花曲线也叫做Koch曲线、Koch雪花。

我们今天就来说说这个雪花曲线吧！到底怎样用几何方法画出雪花的大致形状呢？

雪花曲线是从一个等边三角形开始，一步一步作出来的。

图1

把等边三角形的各边三等分，以居中的那条线段为底边向外作等边三角形，得到一个六角星再去掉与原来等边三角形重叠的边。

图2

接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段，再向外做新的等边三角形，即重复上面的操作。

图3

不断重复上面的操作，就得到了近似理想化雪花的形状。

图片来自百科

这个雪花曲线的神奇不仅仅在于它近似于雪花的形状，更在于它的面积只有原来三角形面积的1.6倍，但是它的周长却是无限的。面积的计算最后需要用到等比数列的求和公式。我们就先假设图1的面积是1，来求求图2和图3的面积吧！

图片4.png

由图4我们知道，图2中多出来的每个小等边三角形的面积为1/9，共多出来的面积是3×1/9，也即图2的面积为1+1/3=4/3。
图2的边数变成3×4，向外作了3×4个小等边三角形得到图3，每个小等边三角形的面积是(1/9)(1/9)，增加的面积是3×4×(1/81)=4/27，也即图3的面积是4/3+4/27=40/27。

至于雪花曲线的周长，我们知道正多边形的周长＝边长×边数，而每次变化后，边长是原来的1/3，边数是原来的4倍，所以，周长是原来的1/3×4＝4/3。也就是说，每次变化后，边长都比原来增加1/3。随着变化的持续进行，周长会变得越来越大，以至无穷。

是不是很有趣？

还有你知道雪和冰都是水的固态，为何表现如此不同吗？我今天就被问到了，如果你感兴趣，可以百度一下，相信你会找到答案的。

文末给大家放几张冰晶的照片，放大120倍拍的，虽然我花了很多时间想拍得更好，可是似乎结果并不那么如人意。