角动量 by胡庭硕

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知识点

动量的直观感受
1. 碰撞模型
  2.匀速圆周运动模型
质点的动量
- 质点在某点处的动量
  - 方向：与质点的运动方向相同
质点的位矢
- 位矢：指的是在某一时刻，以坐标原点为起点，以运动质点所在位置为终点的有向线段。
角动量的直观感受
- 圆周运动速度变化的模型
质点的角动量
- 质点对原点O的角动量（是指位矢，是指动量）
  - 方向：利用右手螺旋定则判定（如图所示）
    QQ图片20190317130142.jpg
    即拿出右手，四指从 $\vec{r}$ 到 $\vec{p}$ 握过去(锐角)，大拇指的方向就是角动量的方向(垂直于位矢
    $\vec{r}$ 和动量 $\vec{p}$ 所确定的平面)。
  - 大小： $L=rmvsin\theta$ ( $\theta$ 是指位矢与动量之间的夹角)
- 例子：匀速圆周运动的角动量
  - 匀速圆周运动角动量表达式 $\vec{L}=\vec{r}×\vec{p}=m\vec{r}\vec{v}=mr^2\vec\omega$
- 例子：一般运动的角动量（径向运动，切向运动）
  - 角动量是描述物体做圆周运动的辅助量，物体做圆周运动的趋势越大，角动量越大。
  - 物体做圆周运动时，角动量最大。
简单组合体的角动量
刚体的角动量
- 转动惯量
  - 转动惯量的定义式： $I=\sum \Delta m_i r_i^2$
    即刚体的转动惯量等于组成刚体的各质元质量与质元到转轴距离平方乘积的代数和。
  - 若刚体的质量是连续分布的，则有 $I=\int r^2dm$
    即质量连续分布的刚体的转动惯量等于质量元到转轴距离的平方对质元质量的积分。
类比法理解平动与转动
- 从平动来看，平动状态改变的难易程度称为惯性
- 从转动来看，转动状态改变的难易程度称为转动惯量

表达题

努力建立直观图像比记忆公式更能培养你的能力。
角动量的大小”代表转动的趋势：角动量越大，代表转动趋势越大（反之亦然）；角动量为零，代表没有转动。
则图中，角动量最大的运动(这四个速度，大小相等、方向不同)是

解：把速度沿着法向(半径方向)和切向(转动方向)分解，则切向分量代表转动。
根据角动量计算公式 $L=rmvsin\theta$ 得，所以角动量 $L_4$ 最大

角动量的数学定义是 $\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}$ 。
(1)直观法：先找到转动趋势的方向，拿出右手，按照转动的方向握好，大拇指的方向就是角动量的方向。
(2)矢量叉乘法：首先， $\vec{r}$ ， $m\vec{v}$ 构成了一个平面， $\vec{L}$ 的方向必然垂直于该平面。拿出右手，四指从 $\vec{r}$ 到 $m\vec{v}$ 握过去(锐角)，大拇指的方向就是角动量的方向。
角动量比动量更便于描述圆周运动。
在匀速率圆周运动中，快速计算下，随着时间的变化，动量变化吗？角动量变化吗？

解：动量发生了变化（因为速度的方向在变化），但是角动量没有发生变化。

质点圆周运动的角动量需要重点记忆。重点重点重点！
某质量为 $m$ 的质点做圆周运动，半径为 $r$ ，速率为 $v$ ，则角动量的大小为

解答：请记下来角动量的数学定义是 $\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}$ 。
两个矢量互相垂直，角动量的大小即为 $mrv\sin\frac{\pi}{2}=mrv$ 。

刚体定轴转动的角动量需要重点记忆。重点重点重点！
请借助与平动类比：平动的动量为质量和速度之积。某刚体的转动惯量为 $I$ ，角速度为 $\omega$ ，则角动量的大小、转动动能的大小(请借助类比法猜测)分别为

解：平动：质量，速度，动量，动能分别与转动的转动惯量，角速度，角动量，转动动能是对应的。
公式很神似，即 $\vec{L}=I\vec\omega$ , $E_k=\frac{1}{2}I\omega^2$

转动惯量的公式是 $I=\sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}$ 。
结合该公式，请思考图中(四个小球质量相同，用轻杆相连，构成一个刚体)各种情形下转动惯量的大小

解：转动惯量的大小与各个质元与轴的距离有关。质量分布离轴越远，转动惯量越大。

转动惯量的公式是 $I=\sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}$ 。结合该公式，请思考图中各种情形下转动惯量的大小：

解：质量分布离轴越远，转动惯量越大。

关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是
- 只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关
- 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关；
- 取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置；
- 只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。

解答：由 $I=mr^2$ 得，刚体对轴的转动惯量取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置
所以第三个说法正确

角动量 by胡庭硕

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