从数学思想的角度看三节课

—温暖的金小仙林湖（2021.11.18）

周五要举行本学年的秋季运动会，这两天都在利用上下午大课间进行开幕式，尤其是入场式的彩排，有些头绪纷杂，加之尚未能看到努力的结果，便不能静心。所以，能在今天下午与数学团队一起坐下来听上三节课，就有了比平时更多的珍惜。

按照评课要求，本次六年级数学组要围绕“四基”中的基本数学思想来观课和评价，所以，以下便围绕指定标准来谈一谈本次观摩到的三节课。

【数形结合促深度学习】

第一节课由吴晗老师执教，课题是《百分数的意义和读写》。

精心准备的每一节课，我们都可以从中找到亮点。那么，吴晗老师这节课最大的亮点是什么呢？我以为是数形结合促深度学习。

在得出百分数的名称后，吴晗老师组织学生说一说具体情境中百分数的含义。出示了这样几道题目：

1.旺仔牛奶糖中糖的含量是4%。

2.姚明身高相当于小昕身高的131%。

3.一件花呢大衣，羊毛含量大约是90%。

4.11月15日：中国3-11岁儿童新冠疫苗接种率达50%。

这样的处理在《百分数的意义与读写》的课堂上很是常见，但是多为读完说完，这道题目的使用也就完。吴晗老师是怎么处理的呢？

在学生结合情境说完每个百分数的含义后，吴晗老师又再次借助数形结合来帮助学生丰富和加深对百分数意义的理解。

比如，配合第1题，吴晗老师补充了“豆本豆含糖量是3%”，通过比较旺仔牛奶和豆本豆哪种更甜，助学生体会这里的含糖量不可能大于100%。

第2题的处理更为精彩。在学生根据文字理解出“姚明身高是小昕身高131%”的含义后，吴晗老师再以身高图引导学生思考：刚才说百分数小于等于100%，这里为什么会有131%？引导学生在示意图的帮助下，具体理解131%表示姚明身高与小昕身高之间的关系—因为与姚明相比，小昕身高较矮，所以把小昕身高看做单位“1”，有100份，姚明身高就有131份，所以姚明身高是小昕身高的131%。

结合情境厘清131%的含义后，吴晗老师再出示班级里另外一位同学的身高，这次这位同学比小昕身高更矮一些，但是具体矮多少，并未标明。吴晗老师鼓励学生用百分数表示这位同学身高与小昕身高之间的关系，从大于1的百分数，再到小于1的百分数，在三个不同身高的比较中体会百分数是表示两种量之间关系的意义。

再到第3题，吴晗老师从一款大衣拓展到四款大衣，并分别给出每款大衣的羊毛含量，既有百分数表示的，也有分数表示的，组织学生依据信息思考：要想知道哪种大衣羊毛含量最高，会选择哪种数？学生都不愿意选择分数，因为分母不同，还需要先通分才能比较，而百分数则可以直接看百分号前面的数就可以得出谁大谁小，实际上，问题就转化成了学生最为熟悉的整数大小的比较。通过比较，进一步凸显出百分数便于比较大小的优点，而这也恰是本节课导入时情境创设的起点。

综上所述，吴晗老师对上述几道题目的应用是充分的，教会学生理解百分数的意义方面是有多元表征的，因而也是颇有效果的，也就是说透过这个环节，能够看到吴晗老师在本节课上以数形结合促学生深度学习的努力与尝试。

【模型思想在哪里？】

数学基本思想有抽象、推理和模型。在第二节课朱蓉老师的课上，可清楚看出朱蓉老师建模的努力与实践。朱蓉老师执教的课题是《农场里的数学》，旨在教学生一一列举的解决问题的策略。那么，朱蓉老师建模的努力可从哪里看出来，模型的思想又具体体现在哪里呢？

课堂伊始，朱蓉老师出示了一个关于用木条围羊圈的问题，具体如下：王大叔用22根1米长的木条围成一块长方形羊圈。问能不能围成面积是20平方米的羊圈？

能不能围成呢？这里，朱蓉老师给学生提出了一个问题，其实也是给学生提供了一个体会一一列举策略优越性的模型。当学生在朱蓉老师引导下，厘清了“用22根1米长的木条围成一块长方形羊圈”就是表示这个长方形周长是22米，长+宽的和是11米之后，已能感觉出来这个长方形形状不唯一、面积不唯一，那这22根1米长的木条到底能不能围成面积是20平方米的长方形呢？还需要借助表格一一列举。当学生具备了这种意愿后，再尝试独立完成问题的解决，一切便显得那么的水到渠成。

由这个问题解决的过程，学生体会到一一列举之于解决问题的重要价值，再遇到类似问题就不会觉得硕大的西瓜无从下口，而是有策略可用。

朱蓉老师本课最高明的地方，还不在于对这个情景的应用，而是在全课即将结束的时候，对这个情境的再次回归。朱蓉老师引导学生去思考—学校准备用22根1米长的木条围墙，一边靠墙（长靠墙），围一个长方形花圃，怎样围面积最大？

还是用木条围围墙，不过不再是四条边都要围，而是只要围三条边，因为有一条边是靠着墙的。这一条件的变化，带来了对原有模型的丰富与完善，使学生能够通过变式的练习学会在不同情境下对一一列举策略的使用。由此过程，恰也能看出朱蓉老师构建模型以助学生理解和体会解决问题策略的设计意图。

关于解决问题的策略，以“一一列举”为例，其实，我一直在思考这样三个问题：第一个问题就是为什么要一一列举？有整理时不重复也不遗漏的优点，有助于秩序的建立。既然有如此优点，那么紧接着提出的第二个问题就是能不能实现一一列举？以包括这个问题在内的诸多问题而言，好像都是可以借助列表等多种方式来予以实现的。有优点，又能实现，那么，第三个问题就是—什么样的问题适用一一列举的策略来解决呢？就像适合画线段图来整理条件和问题，来分析数量关系的题目一样，是有其内在其规律的。那么，究竟什么样的问题用一一列举策略比较好呢？也是有规律的。这个规律怎样表述比较准确？是值得我们共同继续研究的问题。

【找寻教学结构】

组内分工，我的评课任务仅限于第三节课—饶校的《分数乘除法应用复习》，所以，在谈完对前面两节课的观感后，一定要说一说第三节课。

首先让我们再来回顾和梳理饶校这节课的教学环节：第一个环节是整理复习，第二个环节是一起回顾整理，第三个环节是过关练习，第三个环节是专项练习，第四个环节是拓展练习。从教学环节来看，整节课板块分明，结构清晰，所以，围绕数学思想我要来发现第三节课，那就是找寻数学结构。

因为这是一节复习课，所以一开始饶校先组织学生整理已学的两个单元的内容，再选择学生作业进行展示。有学生用思维导图，有学生抓问题类型，看出对所学内容，学生已经能够实现自主建构。但这个环节，整理有成效，获得展示机会的毕竟只是少数人，复习的教学目标是要让所有人都能在原有基础上获得进步和提升，所以接下来，饶校带着学生“一起回顾整理”。以例题为主体，逐个复习分数乘法和分数除法单元学习到的问题类型，面向全体，实现对教材的梳理与回顾。这些问题类型都知道了，是否也能做到独立正确解决呢？还需要现场检验。于是，接下来，饶校就设置了过关练习环节，参照已经复习过的类型，组织学生通过经历问题的解决来巩固和内化问题解决的方法。

解决问题包括四个步骤，在这四个步骤中，总有一些步骤比其他步骤更容易错，也就成为制约问题正确解决的难点。对于分数乘法和分数除法实际问题而言，找准单位“1”是制约问题能够顺利和正确得到解决的难点。因此，在过关练习后，饶校又组织学生找单位“1”，说数量关系，针对难点展开专项训练。

学生的学业水平是有层次的，为让不同的学生都能有所获，最后，饶校还设置了拓展练习环节。

今天开始，在线参与网络课程的学习，听到了淮安关校长的一节课《小数加减法》，也是课堂环节很常规，基本没有让人眼花缭乱的设置，但是作为听课者，能感受到学生在这样的课堂上的安全感与获得感，能感受到学生在参与学习过程中的拔节生长。

一节好课是什么样的？特征很多，我以为首先要有结构。建构主义的发起人皮亚杰指出儿童是在与周围环境相互作用的过程中，逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身认知结构得到发展。而这样的建构需要有一定结构的教学予以保证。深度学习也提出结构化的知识识记效果最好，因此从这一点来看《分数乘除法应用复习》，一个清晰而又前后联系的结构是其骨架，这个骨架为学生通过复习查漏补缺，加深认识提供了充分的可能。

为什么把分数乘法和分数除法合在一起整理复习？因为分数乘法和分数除法之间有关系，究竟有什么关系？如果能够借助题组，让问题开花助学生理解和体会，则这段“结构”内在的紧密性会得到更加充分的体现。

同样再看第一节课，为什么弃之不用教材中的情境，有何教学目标得到更好的实现？也是需要线下交流当面对话的问题，期待下一次校本研修，能与大家共同学习！感谢吴晗老师、朱蓉老师、饶校三位为我们提供促我们思考，给我们借鉴的课堂教学！再次感谢！