2022-11-13 一道很有意思的不等式

2022-11-13 本文已影响0人天下第二狙

已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $ab=a+b+3$ ，求 $ab$ 的最小值

直接移项： $a+b=ab-3$

由已知可以得到两边都是正数，两边平方，得到：

$a^2+2ab+b^2=(ab)^2-6ab+9$

这里就需要用到常用的一个操作，用基本不等式把等式变成不等式：

$(ab)^2-6ab+9=a^2+b^2+2ab\geq 4ab$

移项之后，得到

$（ab)^2-10ab+9\geq 0$

得到 $ab\leq 1$ （舍去）或者 $ab\geq 9$

其中用基本不等式将等式变为不等式的操作还是比较实用的。而且中间一步事实上隐藏了一个条件，就是 $ab\geq 3$ .