UVa11300分金币-中位数

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此题刚开始做时没有什么思路，也不知道这么下手，但不可能穷举。由于对于任意一个人$x_i$，只可能向$x_{i-1}$或者$x_{i+1}$分金币，因此定义$x_i$为编号为$i$的人向编号为$i-1$的人给多少金币，如果$x_i<0$，则表示实际上是编号为$i-1$的人向编号为$i$的人$-x_i$个金币。
现假设有四个人1,2,3,4，编号为$i$的人初始有$A_i$个金币。对于1号来说，给了4号$x_1$个金币，2号给了他$x_2$个金币，因此还剩$A_1-x_1+x_2$个金币。而我们知道最后每个人的金币数量为平均数，记为$M$，因此我们得到方程：

$A_1-x_1+x_2 = M$

同理，我们可以对每个人列出方程，因此最终可以得到$n$个方程，一共有$n$个变量，但其实最后一个方程式无效的，实际上只有$n-1$个方程式有效的。
我们可以用$x_1$表示每一个变量，再通过$x_1$的极值解得出结果。例如：

$A_1-x_1+x_2 = M \to x_2 = M-A_1+x_1 = x_1 - C_1$
$A_2-x_2+x_3 = M \to x_3 = M-A_2+x_2 = x_1 - C_2$

读者可自行算出$C_i$，是一个递推公式，为：

$C_i = C{i-1} + A_i - M$

因此，我们希望所有的$x_i$的绝对值之和最小，即$|x_1| + |x_1 - C_1| +...+|x_1 - C_n-1|$的值要最小。可将这些点画在数轴上可得，其几何意义为未知数到$C_i$的距离总和最短。简单分析可得，当取值为中位数时，距离和最短。
由此可得，当输入点为奇数时，取中位数即可计算出结果，当输入点为偶数时，取最中间两个点之间的任意位置即可。
因此不难写出代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 1000000 + 10;
long long C[maxn],M,tot;

int main()
{
    int n;
    while (cin>>n)
    {
        tot = 0;
        long long x = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            cin>>x;
            tot += x;
            C[i] = tot;
        }
        M = tot/n;
        for (int i = 0; i < n;i++)
        {
            C[i] -= M*(i+1);\\递推计算
        }
        sort(C,C+n);
        long long x1 = C[n/2],ans = 0;
        for (int i =0; i < n; i++)
            ans += abs(x1 - C[i]);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

需要注意的是，此题需要使用long long类型才能AC。