2020-02-05（学习笔记）

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《数论概论》

对于素数p,若p|ab, 则必有p|a 或 p|b, 证明如下：
①若p|a，则成立
②若 $p\not|a$ ，则必有gcd(a, p) = 1, 故必有ax + py = 1, 两边同时乘b, 则有abx + pby = b, ∴p|abx、p|pby, ∴p|b，则成立。
若p| $a_1a_2……a_n$ , 则p必整除 $a_1, a_2, ……, a_n$ 中的一个。
一个数n有唯一分解法，证明如下：
若n = $p_1p_2……p_s$ = $q_1q_2……q_r$ ，则对每一个p进行讨论，由上一条定理已知唯一分解法的存在。
算术级数的狄利克雷定理：
对于任意的a、m，若gcd(a, m) = 1, 则对于所有的p与a关于m同余的素数p均有无穷个。 * * 素数无穷，证明如下：
对于已知素数 $p_1, p_2,……p_n$ ，令 $A=p_1×p_2×……×p_n+1$ ，必有素数q|A，则q为一新素数
除以4余3的素数无穷，证明如下：
对于已知除以4余3的素数3, $p_1,p_2,……p_n$ , 令A= $4×p_1×p_2×……×p_n+3$ ，必有除以4余3的素数q，使q|A，则q为一新素数
素数性质
对于一个奇素数p，设p = $2^kq$ , 其中q为奇数，有a且a满足gcd(a, p) = 1则奇素数p满足以下两个中的一个：
(1) $a^q 与1关于p同余$
(2) $a^q, a^{2q}, ……, a^{2^kq}$ 中的一个与-1关于p同余