大题{导数,任意，存在}

2019-04-25 本文已影响42人 7300T

高考中常见到这么一类动态的导数问题：对于区间内任意自变量，不等式恒成立，求参数取值范围，或在区间内存在一个自变量，使不等式成立，求参数取值范围等等.由于这类动态问题本身的抽象性及隐蔽性，学生在解决这类问题时，往往感到束手无策.常见的含有“任意”和“存在”字样的题型和破解策略主要有：

对任意 $x \in[a, b], f(x)<m$ (或 $f(x)>m$ )恒成立类型问题，需要把问题转化为 $f(x)_{\max }<m$ (或 $f(x)_{\min }>m$ ).
对任意 $x \in[a, b], f(x)<g(x)$ （或 $f(x)>g(x)$ ）恒成立类型问题，需要把问题转化为 $\left[[f(x)-g(x)]_{\max }<0\right.$ （或 $[f(x)-g(x)]_{\min }>0$ ）.几何解释就是当 $x \in[a, b]$ 时，函数 $f(x)$ 图像恒在 $g(x)$ 的图像下方（或上方）。
对任意 $x_1,x_2 \in [a,b]$ 都有 $f(x_1)\geq g(x_2)$ 成立，等价于对任意的 $x_1,x_2\in [a,b]$ 都有 $[f(x)]_{\min } \geqslant[g(x)]_{\max }$
存在 $x_{0} \in[a, b]$ ，使 $f\left(x_{0}\right)<m$ （或 $f\left(x_{0}\right)>m$ ）成立型问题，需要把问题转化为 $f(x)_{\min }<m$ （或 $f(x)_{\max }>m$ ）
存在 $x_{0} \in[a, b]$ ，使 $f\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ （或 $f\left(x_{0}\right)>g\left(x_{0}\right)$ ）需要把问题转化为 $[f(x)-g(x)]_{\min }<0$ （或 $[f(x)-g(x)]_{\max }>0$ ）。
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