特征值和奇异值

特征值和奇异值经常弄混~

首先理解特征值分解和奇异值分解：矩阵的特征值分解考虑的是一个到自身的映射矩阵，奇异值分解考虑的矩阵对应的是到别的空间的映射。结合此点，理解以下：

1，特征值和奇异值的区别？

特征值是方阵所有，奇异值是所有矩阵。

特征值可正可负可为0，奇异值是非负的。

特征值对应着到自身空间的变换，及缩放尺度，而奇异值则表示着到另一个空间的变换。

特征值 奇异值

2，特征向量和奇异向量

对称矩阵的特征向量一般情况下被约束为单位2范数，而非对称阵矩阵的特征向量则有不同的2范数，奇异向量的2范数一般被约束为1.

<特征值与特征向量>

特征值和特征向量等式 A-\lamdaI是奇异的； A的特征多项式或特征方程 矩阵形式

当假设X的各列线性独立的时候，则可以有常见的特征值分解形式，

特征值分解

<奇异值与奇异向量>

矩阵形式

其中U和V在实值的情况是正交阵，是复数的情况下是unitary的。

奇异值分解

3，相似矩阵：相似矩阵保特征值

A和B是相似的