趣味数学：七葫芦娃换宝升级到八仙换宝

2022-06-07 本文已影响0人易水樵

易老师为思思和方方上课。

老师问：【葫芦七兄弟交换宝物】的问题，大家都搞懂了吗？

二人异口同声回答，搞懂了！

易老师说：学数学，就是学思想和方法；一定不能满足于答对一两个具体的习题；一定要深入彻底的了解解题的原理。

如果对基本的原理了解不够深入，命题人把具体的数字一换，可能你就会答错。

方方回答说：老师，我们真的搞懂了。不信，你出题考考我们。

易老师：好的，我现在就出一个相似的题。你们试试，能不能正确解答？

8 位仙人各有一件宝物，每一位仙人都送出自己的宝物，也得到另一位仙人的宝物，但不允许任意两位仙人互相交换宝物。一共有多少种不同的交换方案？

两位小同学奋笔疾书，几分钟后同时交卷。
其中方方的解答是这样的。

八位仙人交换宝物，交换方案可以分为以下三类。
第一类，八位仙人分为一个 8人大组。按照圆周排列模型，具体的交换方案数为： $A^7_7$ ；

第二类，八位仙人分为两组，一组三人，一组五人。

针对这一类，需要分三步走：

（1）分组的方案数为 $C^3_8$ ;
（2）3 人小组的交换方案数为 $A^2_2$
（3）5 人小组的交换方案数为 $A^4_4$

根据乘法原理可以求出，这一类方案的总数为 $C^3_8 \times A^2_2 \times A^4_4$ ;

第三类，8 位仙人可以可以分为两组，每组 4人。
与第二类相似，第三类的方案数为 $C^4_8 \times A^3_3 \times A^3_3$

根据加法原理，八位仙人的交换方案总数等于三类方案之和，也就是：

$A^7_7+C^3_8 \times A^2_2 \times A^4_4+C^4_8 \times A^3_3 \times A^3_3$

易老师：思思，你的结论和方方一样吗？
思思：一样。

易老师笑着说：看来，乘法原理和乘法原理，大家已经基本掌握。方方的解题思路，大方向是正确的。

不过，现在让我们更深入一些。我们知道，从 8人中选出 4 人，共有 $C^4_8$ 种选法。这个数量有点大，能不能写出一些具体的实例呢？思思你来写。

思思同学很快写出了以下实例：

$\widehat{1234}$
$\widehat{1235}$
$\widehat{1236}$
$\widehat{1237}$
$\widehat{1238}$
$\widehat{1245}$

$\cdots$

$\widehat{4568}$
$\widehat{4678}$
$\widehat{5678}$

很好！

易老师继续说：既然是两个组，我们不妨把方方刚才写的这组称为甲组，另外一组称为乙组。思思，你来把对应的乙组成员写出来。

按照老师的要求，思思很快出另外一组成员，于是得到了以下表格。