复利模式

复利，是指一笔资金除本金产生利息之外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利益也计算利息的计息方法，别称利滚利、驴打滚等，主要应用于经济学、金融学等学科的金融计算。其计算公式为：F=A（1+i）∧n，其中F为最终金额，A为初始本金，i为利率， n为时间周期，被爱因斯坦成为世界第八大奇迹。究竟有多奇？先看一个浮萍铺满池塘的例子：

一片池塘出现了一小块浮萍，它每天增长一倍，预计10天能长满整个池塘，那么，浮萍多少天能长满一半水面？

简要分析：一小块浮萍，即A=1；每天增长一倍，即i=100%；10天能够长满整个池塘，即n=10，根据复利公式，F=1*（1+100%）∧10，即F=1024。

而要长满一半的水面，即1024/2=512，需要多少天呢？按照复利公式，512=1*（1+100%）∧n，求出n=9，也就是说，经过9天时间，即可长满一半的水面，也就是说，要长满另外一半的水面，1天足够。

按照线性思维模式，要长满一半的水面，似乎应该在5天左右，但是复利模式是指数级增长，尤其是经过了前9天的指数级增长，长满另一半水面，仅仅需要1天时间。

这就是复利模式下惊人的增长速度。

为了进一步了解复利公式，我们尝试对其中几个系数进行调整，看看会发生哪些变化：

首先，调整“初始本金”A：

我们把“初始本金”由1改为2，其他条件不变的情况下，再次计算数据的变化：

按照复利公式，两小块浮萍，即A=2；每天增长一倍，即i=100%；10天能够长满整个池塘，即n=10，根据复利公式，F=2*（1+100%）∧10，即F=2048。

而要长满一半的水面，即2048/2=1024，需要多少天呢？按照复利公式，1024=2*（1+100%）∧n，求出n=9，也就是说，仍然是经过9天时间，即可长满一半的水面，而要长满另外一半的水面，即1024，仍然是1天足够。

所以，增加复利公式的初始数据1倍，那么第10天的产出也增加了1倍。

其次，调整“利率”i：

我们把“利率”由100%改为300%（为了便于计算），其他条件不变的情况下，再次计算数据的变化：

按照复利公式，一小块浮萍，即A=1,；每天增长3倍，即i=300%；10天能够长满整个池塘，即n=10，根据复利公式，F=1*（1+300%）∧10，即F=1048576，这是一个很庞大的数字！

而要长满一半的水面，即1048576/2=524288，需要多少天呢？按照复利公式，524288=1*（1+300%）∧n，求出n=9.5，也就是说，需要9.5天即可长满一半的水面，而要长满另外一半的水面，即524288，则需要0.5天即可，这是另一个很庞大的数字！

最后，调整“时间周期”n：

1、我们把“时间周期”由10改为5（为了便于计算），其他条件不变的情况下，再次计算数据的变化：

按照复利公式，一小块浮萍，即A=1；每天增长一倍，即i=100%；5天能够长满整个池塘，即n=5，根据复利公式，F=1*（1+100%）∧5，即F=32。

而要长满一半的水面，即32/2=16，需要多少天呢？按照复利公式，16=1*（1+100%）∧n，求出n=4，也就是说，仍然是经过4天时间，即可长满一半的水面，而要长满另外一半的水面，即16，则需要1天即可。

2、我们把“时间周期”由10改为20（为了便于计算），其他条件不变的情况下，再次计算数据的变化：

按照复利公式，一小块浮萍，即A=1；每天增长一倍，即i=100%；20天能够长满整个池塘，即n=20，根据复利公式，F=1*（1+100%）∧20，即F=1024。

而要长满一半的水面，即1024/2=512，需要多少天呢？按照复利公式，512=1*（1+100%）∧n，求出n=10，也就是说，仍然是经过20天时间，即可长满一半的水面，而要长满另外一半的水面，即512，则需要10天即可。

通过调整复利公式的系数，我们发现影响“最终金额”F的因素中，即“初始本金”A、“利率”i、“时间周期” n ，具体影响程度的变化如下：

从这个表中，我们可以看到，调整“利率”，也就是变化速度，对“最终金额”的影响是巨大的；调整“初始本金”，也就是初始状态，对“最终金额”的影响次之，而调整“时间周期”，随着时间的增加，仍然对“最终金额”产生很大的影响。

复利模式在很多的诠释中，会被理解为通过长期积累而获得相应的收益，从“关系”的角度看待复利模式，并不完全准确，除非设定的前提条件是固定值，包括“初始本金”、“利率”，但是，从数学角度看待复利模式，还会有更好的选择：

以学习为例，我们都知道学习重在改变认知或行动，我们以行动改变为例：如果把行动改变的结果作为“最终金额”，我们首先设定“初始本金”在近似群体相差不大（样本选择的现实如此），那么行为改变的“最终金额”取决于两个要素：利率即行为改变效率、时间周期即行为改变的时长，行为改变效率的影响因素中，从“一万小时定律”中，就是跳出舒适圈而进入学习圈的行为改变程度，我们可以用行为改变的频次作为判定标准，这个判定标准有个前提，就是要用高级的表象特征作为前提，也就是更高级的行为方式，行为改变的频次，就是高级行为方式的在一定周期内发生的次数，而时间周期，就是这种高级行为方式持续的周期数，持续周期越长，越能实现通过高级行为方式改变而获得的“最终金额”越大，需要说明的是，高级行为改变“最终金额”的大小，需要一种有效的反馈方式，否则，就无法想数学问题一样，能够清晰的知道改变的量值。

比如说，采取了一种高级的文章写作的心理表征，在某个平台更新的周期也由原来的一周一篇到三篇，则可以通过点赞的数量、转发的数量等等反馈指标，来衡量“最终金额”的大小，如果刚开始是更新一篇文章的周期是一周，现在更显一篇文章的周期是三天，这就首先提高了“时间周期”，而原先的文章的点赞率为30%，如果采用了新的写作方式，点赞率提升到60%，那么，“最终金额”的计算公式就有（1*（1+30%）∧4）即2.8561调整为（2*（1+60%）∧4）即13.1072（备注：以月度为周期），这就是很大的飞跃式提升。

复利模式，作为一种普世的底层规律，其关键点在于：

1、 从“关系”角度看待增长问题，“最终金额”的增长，与“初始本金”、“利率”、“时间周期”有着密切的关系。

2、 从增长角度看待增长问题，在“初始本金”等某一种要素相对稳定的前提下，通过增加“利率”、“时间周期”来实现“最终金额”的指数级增长。