波动方程

尽管基于玻尔量子规则的早期量子理论是成功的，但薛定谔拒绝接受一种电子只能在“允许轨道”上运动，且毫无缘由地从一个轨道跃迁到另一轨道的物理学。他直言不讳地指出：

你一定要弄明白，玻尔，量子跃迁的整个概念必然导致无意义。你说原子的稳态电子首先做的是无辐射的某种周期性的轨道运动，但却没有解释为什么它不会辐射。而根据麦克斯韦的电磁理论，它必然会辐射。接着，电子从一个轨道跃迁到另一个轨道并伴随辐射。那么请问，这种跃迁是逐渐进行的还是突发的？……在跃迁过程中是什么法则在起作用？因此说，量子跃迁的整体思路必然只能是无稽之谈。

薛定谔非常感谢爱因斯坦“简短而富于远见的教诲”，即让他注意德布罗意关于实物可以显示出波动性质的猜想。这个想法吸引了他。波可能是从一种状态连续平稳地演变到另一种状态。电子作为一种波可能无须无辐射轨道的概念。他有可能摆脱玻尔的“讨厌的量子跃迁”。

薛定谔非常想通过修正牛顿定律来解释量子行为，他试图给电子和原子的行为以合理的说明来描述这个世界。他想得到一个支配物质波的方程，这将是一种新物理学，因此是一种有待检验的猜想。薛定谔寻求的是一种新的普适的运动方程。

普适方程不仅要对大的物体有效，而且也适用于微观粒子。牛顿定律可以从某一时刻扔出去的石头的位置和运动来预测石头未来的位置和运动。同样，波动方程能够从一个波的初始形状来预言波在此后任意时刻的形状。它既能够描述涟漪是如何从扔出的石子所击中的水面位置向四周扩散开的，也能够描述波是如何在绷紧的绳子上传播的。

有一个问题：对于水波、光波和声波有效的波动方程对物质波无效。光波和声波在介质中可以单一速度传播，这个波速由介质确定。例如，声波在空气中以每秒330米的波速运动。而薛定谔寻求的波动方程则允许物质波在任何速度下运动，因为电子、原子——乃至棒球——可以在任何速度下运动。

突破是在1925年薛定谔与女友在山区度假时取得的。在接下来的6个月里，薛定谔发表了4篇论文，用描述物质波的方程奠定了现代量子力学的基础。这项工作立即被确认为一个重大胜利。爱因斯坦认为它是出自“真正天才”的成果。普朗克称这项工作具有“划时代”的意义。薛定谔自己当然更是高兴，认为他已经摆脱了量子跃迁。他写道：

“几乎没有必要指出，将量子跃迁设想成从一种振动模式到另一种振动模式转变所引起的能量变化，要比将它当作一个电子的跃迁更令人满意。振动模式的变化可以被视为在连续空间和时间上的过程，其持久性与发射过程一样长。”

（薛定谔方程实际上是一种非相对论性近似，也就是说，它只有在速度不是接近光速时才是对的，我们仍然是在更一般的情况下来处理概念问题，这样更简单、更清晰，同时也符合用薛定谔方程来处理量子谜团的习惯。即使光子是以光速运动，但我们说的一切基本上都适用于光子。）

有一段时间，两种本质上不同的理论似乎都能解释相同的物理现象，局面出现了一种哲学家早就在思考的令人不安的可能性。但在短短几个月后，薛定谔证明了，海森伯的理论在逻辑上等同于他自己的理论，只是数学表象上有所不同。今天普遍使用的是数学上更容易处理的薛定谔版本。