高中数列之纲~常用方法：裂项求和

2021-01-15 本文已影响0人易水樵

裂项求和

我们从头说起。

在小学时代，已经学过下面的运算技巧：

因为 $\dfrac {1} {2} - \dfrac {1} {3} = \dfrac {3-2} {6} = \dfrac {1} {6}$

所以 $\dfrac{1}{1 \times 2}+\dfrac{1}{2 \times 3}+\dfrac{1}{3 \times 4}$
$= 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}$
$=1-\dfrac{1}{4}$

在初中学习代数后，可以将以上经验推广为一般形式：

$\dfrac{1}{1 \times 2}+\dfrac{1}{2 \times 3} + \dots +\dfrac{1}{n(n+1)}$
$=1-\dfrac{1}{n+1}$

在高中学习等差数列后，可作进一步推广：

$\dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{a_2} - \dfrac{1}{a_3} + \dfrac{1}{a_3} + \dots + \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}$
$=\dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_{n+1}}$