滞后效应的其中一个数学原理

（本文是学习吴军的数学通识50讲心得，图片来自课程）

努力学习，却感觉没什么效果；卖力工作，但得不到提升；想改善人际关系，也似乎看不到改变……但是，这并不说明努力是不对的，而是因为滞后效应，努力需要坚持。

为什么这些事情会发生滞后效应？原因之一是因为“累加”（如知识的累加，感情的累加，别人对你评价的累加等等）从数学原理上来讲就具有滞后效应。

下图黑线代表加速度（你可以认为是努力程度，图中是个恒定的值），红线代表因此产生的速度（你可以认为是因努力提升了的能力），蓝线代表走过的距离（你可以认为是因能力提升后产生的成绩或业绩）。

加速度（黑色）、速度（红色）、距离（蓝色）关系图

图中可以看出速度提升相比加速度是滞后的，它需要一定时间之后才能提升到一定程度，而距离相比于速度也是滞后的，相比于加速度就更加滞后了。这就是为什么努力工作，却没有升值：因为努力而提升的能力需要一段时间才能显现，而因能力提升带来的业绩提升就要更长的时间了。

这三个量从数学上讲就是：速度是加速度的积分，距离是速度的积分。凡是积分的值，就会有滞后效应，积分就是一种累加，一种求和。因此以后我们遇到需要积累的事情，不妨多一点耐心，不要半途而废，等待好结果的到来。

当然，反过来讲也一样，一次松懈很难消耗掉你因努力而积累的成果，但是如果你持续松懈，开始不怎么能看出的恶果将会慢慢浮现，直到你无法挽回，或者你再花比之前更大的代价再次反转回来（花比第一次努力更加大的代价是因为这次不是从零开始，要先花力气反转松懈带来的恶果）。